416 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



Ensttite, par la resolution g^nerale en facteurs, que j^ai enseign^e dans llntroduction a ianalyse, on 

 voit que ce meme produit exprime la valeur de Si nous mettons n — m au lieu de /w, nous 



mrc 

 n«in 



auroos : 



r"—^—^dx 4 nn 4nn 9nn 



/ar' — "' — ^dx 1 nn 4nn 9nn 

 — , etc, 

 „ fff n% nn — mm 4nn — mm 9nn — ntm 



(l-a?")-S— 



(n — m)7t 



et par consequent, a cause de sm ^^ i-=sm — > 



' wn J 



n — m 



i>| rfr) /^fij-t-rtt^tnJ i\\x-^rritr!^ t^i,- {x—ccr^n (i — ic") n 



nsin 



mrt 

 n 



Posons -y. = z, ou as" = ^j ^ > de sorte que ac = 1 si z = oo , et nous aurons en posant 



V^(l-a/») ■ 1-t-a 



apres rintegration z = oo : 



I-HZ" i iH-z'» 



— • 



nsin — 

 n 



18. Mais voyons aussi comment ce meme produit infini: 



4nn 9nn . mn 



etc. = — i 



nn — mm 4nn — mm 9nn — mm mn 



nsin — 

 n 



peut etre exprime par le rapport de deux formules integrales. Pour cet eflPet, il faut poser 



. /3(a-+-v) nn j - , 



u=zn et — ; r = > aonc/a = ft; a-\-y=zn\ a = n — m et a-^v = n-t-m'. dou 



'^ a{p-i-v) nn — mm j » » i » 



Pon tire a = n — m; /3 = n', v = m et /Li = n et partant: 



, /w " n 



m n faP—^—^ dx{i- aP)-7r 



"»^ m—n 



" S«o — /0^1 daj (1 - «")— 



mais le denominateur ^tant ici integrable, son integrale donne — pour le cas x=i\ de sorte que 

 cette int^gration se reduit a la pr^cedente. La formuie plns generale ne m^ue pas a d'autres 

 integrations; cependant il y a dautres moyens de rendre ces integrations plus generales. 



. 19. Multiplions deux formules iutegrales en general et dans le cas x=iy la valeur de ce, 

 produit 



n — n 



vnfx^-^dxii^x") " , fx'^^dx{i-'af') " sera: 



etc., 



nn{a-t-v){a-*-Vi) 4nn(a-i-y-i-n) (o-*-n-»-n) 

 ati^y-i-n^^n-i-n) (aH-n)(a-*-n) (y-*- 2 n) (tt -1-2 n) 



lequel soit pose dgal a celui-ci: 



nn 4nn . mn 



etc. = 



(n — m)(n-Hm) (2n — m)(2n-»-m) ' . mn 



^ '* ^ '* ' nsin — 



