Formules Mgrales riductihles a la quadrature du cercle, 417 



Soit pour cet effet a = n — m\ a = n-^m\ et posons outre cela: 



a-^v = v-^n — /n = n-Hn; a-+-n = n-«-7n-iw = y-f-n; 



l'il B h\ ^ i fed li tfo 



d'ou nous tiroDS v — n = m. Soit donc v = k-i-^fn et n = k — -^m: et nous aurons, en 



2 2 ' 



prenant pour k un nombre quelconque: 



2k-*-m — 2« 2k — m — 2n 



(kk —jmm) fx"-"'-' dx (1 — x") ^^ . fx"-*""-' dx (i—x") ^" = 



tnft 



, mn 



nsm 



n 



20. Voila donc un produit de deux formules integ-rales, qui, dans le cas ou Ton met x= i 

 apr6s l'integration, devient = ■: et partant on pourra prendre k en sorte que rune de ces 



mrt 



n sin 



n 



deux formules devienne integrable, et alors Tintegration de Tautre se reduira a Texpression 



mn 



n 8U 



n 



Ainsi, posant 2A:=»i-f-2/i, a cause de /"(«""^"'""Maj = > et kk — -^ mm = n {n-t-m)y on aura: 



/ = '-% — i 2if02oq ' «i«o iirr 



m t '^M I 1 



n fx"-''-^dx (i—cc-)" =-!^. '^^^ «^*^ 89iin»l-aol 



** *'"~n~ «*i*»"i <f^P »i> = X *• ^ == "(j 

 Or si Ton prend 2k = m-t-kny puisque 



/:«"-»— 1 dx{i — X") = -^^ 5-^ =7 r^ r 



J ^ ^ n-t-m 2n-»-nt (nH-m)(2n-i-m) 



et kk--\mm = 2n{m-^2n), 6n aura: '"^ cius xro ba«/p 



-^ fx"-'"-'da;(i—x")~'' =-^!^: (mm^'kU) 



n -i-m J ^ ' mit ' ■ 



n sio 



n 



Donc, posant aussi n — m a la place de m, on aura: . - 



m n — m 



- = - fx"-'"-' dx (1 — a;") " = -^ /'aj'""^ (i.r (1 —x") " et 

 irr m ./ ^ ' n — m J ^ ' 



m; 

 n sin — 

 n 



n siD 



n 



— =-^^Jx"-"^-'dx(i-^x")~^ = . ^^ -[^"'-'dx^i^x")' » . 



mn m{n-^m) J ^ ' (n — m)(2n — m) J ^ ' 



21. Or, puisque ,. , . . ^._ 



[^"■^'"-'dx^i-^x") ^" ^^^fx^^-^dx^i^x") ^" » 

 si nous substituons cette valeur, nous aurons: 



2k-*-m — 2« aA — m — 2« 



I xK-f-m—xn »n.—iii — t.im 



(k^-jm^fx^^^^-^dx^i — x") ^" -fx^^-^dx^i—x") ^" = 



jt 



9 



mn 

 n sin — 

 n 



et cette valeur demcure la meme, quoiqu'on ecrive n — w au lieu de m. Soit m=i et /i = 2, 

 et Ton aura: 



L. Euleri Op. posthama T. I. 53 



