418 A vyv ' L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



(k^-j) fdx (1 — x^)~~^'fdx (1 — aj2) "* ~ = !L , 



ou il est remarquable que cette eg^alite a lieu, quelque nombre quon mette pour k. Soit par 

 exemple /c=l, ou A; = 2, et l'on aura: 



1 r dx n 



dx 7t 



ct posant k — -^-\- 1/2 



800 el» OffU i OUp JfJtOB 09 ItV 'Jljtjd •/2—1 "/2—2 



/d«;(l-x^) ^ .fdx{l-x^) - =^^. 

 Cette 6galit6 est remarquable, a cause des exposants irrationnels. 



22. On peut encore transformer de plusieurs manieres les formules que nous venons de trou- 



ver: car, posons 1 — aj" = y*", de sorte que £c = l/(l — j^") et dcc = 2j^" '^dy{i — j*") " , 

 les termes de Tintegrale, qui etaient auparavant a3=0 et x=i, sont a present renverses, savoir: 

 j=l et ;y = ce qui revient au meme. De la nous concluons: 



— m m—H 



(i/c— ■2m)/72^-*-'"-1dj(l—j2n) n .yy2A-m_l^^(|_^2n) n ^ 



quand on aura mis y=i apr^s Tintegration; ou bien 



—m m 



{kkk—mm)fy^^-'""-^dY{i—y^'') " 'fy^^-^^-^dy^i—y'''')"^ 



, mrc 



n sin ■ 



n 



mTt 

 n sin — ~ 

 n 



par la reduction de ces integrales. Donc si w=l et w=2, nous aurons 



j/2*dj/ ry^^ — ^dy n 



r yydy r dy ^^ 



Jv(i-y*)' Jv(i-y')~~ 4* 



23. Or, puisque Tangle — depend du seul rapport dcs nombres m et n, nous aurons 

 sin — - = 1 , si ^ = ^71, sans quon ait besoin de determiner n. Soit donc w = — «, et pour 

 evitcr les fractions, 2k = m-h-X; d'ou nous tirons ce theoreme: 



./ i/(l _ y2") * y >/(l _ yiny — 2 /l n ' 



/^^^"•/r^-'<Jr(i-r-) 



2/l(/l-»-n) 

 De m6me, posant plus generalemcnt 2/f = A-i-»i, on aura) 



—/71 m — « 



o=:..n i» ,1=:.. //-^2'"-idr(i-:r"') " •//-'^^(i-)^'') " = — ^— » ou 



2'^' n siu 



n 



€c 



