Formules intigrales rSdiictibles d la quadrature du cercle, 4.19 



fr^^*"'-'dr{i—f'*) " .//^-«^7(1—;^'")" = 



xn(/iH-zm)siii — 

 n 



ou le nombre A est arbitraire, de sorte quon puisse meme lui donner une valeur irrationelle. Soit 

 m = f4,k et n = vk, et Ton aura: 



— f- ^ , , &: 



V '^_ 



flTt 





2^. Posons de plus: 2k = a pour avoir cette eg-alit6 



fr^-^-f^-^dy (t — /«)'^ . f/-' dy (l—/«)^ = 

 dont on aura ces cas principaux: 



,yX-^a—\^y yX—\^y 



V 



fiJt 



^vi^-i-i/ik)sia~ 



Avatin — 



J T/(i-y2«) •. //(i-y^^) — 2X^' 1' ftlJo» «noiiJ iuoa abooo^ ti ad 



l^-t-a—i ay py^idy 



2;r 



/~3 /3 "^XTT^* f^ 3iwb<>T 02 »Hi.or^ioiJ ftl 



y^'*— ^ dy /• t/^^ dy «- 



/^E=f^-/^ 



^AaVi* 



V{i-y^'^) V(l-j/4«)3 



; 

 ~ V2' 



p^^a—^ dy i^y^^dy 7r_ 



^ Ai-y*")' 1^(1 -y^") ^'^"^ 



25. Comme Texpression infinie du sinus nous a conduit a ces integrations, traitons de la 

 meme maniere rexpression trouvee pour le cosinus, qui se reduit a celte forme; ,,j^ ,.. 



niTr (n — 2m)(n-i-2m) (3n — 2m) (3n-i-2m) (5n — 2m)(5n-i- 2m) t : : *. 



COS • r r • -z elC, 



n n.n 3n . 3n 5n. 5n 



011 puisque ni les numerateurs ni les dcnominateurs ne contiennent des facteurs selon la progression 

 1, 2, 3, 4-, 5 etc, nous n'en saurions exprimer la valeur par une seule formule int^grale. Ghercbons 

 donc deux formules dont le rapport exprime cette valeur, et Ton voit dabord qu'il faut mettre 



r» o «^ j /S(a-i-v) (n— 2m)(n-»-2m) ^ ,3 * o^ j 



u = 2n. Soit donc -^^ - = - — -9 et nous aurons a = /i; /?=/i — v et v=2m\ de 



♦^ a(/3 -\-v) n.n 



sorte que /3 = n — 2m. Par consequent, en posant apres Tintegration aj=l, nous aurons: 1., 



m — n 



/y— ^da?(l — »2«) " mn- . (n — 2m)ff 



-^ ^^ ^ = cos — = sin ^^ — K—^' ^ 



m — n *» 2n f 



yyi— 2OT— l^^(j_^2/») n 



Donc posant m=Xu et n = Xv^ nous aurons :.= — - — A 



» fX V 



fx^v—^dxa—cc^'') " iirt . (v-2yu)nr 



-i£ ^^ 1 = cos — = sin ^ ^ \j , 



