m L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



30. Cette derni^re formule fournit les reductions suivantes: 



, krt px'-" •" "^ "^ ax . mTt fa 



lj.jib«vi r 



1/(1— a;*")2«— ^* '^"^ "^ y(i— a;2")2" — "* 



. kn r x^~-^^^dx . mrt par^^—^dx 



s»n TT- ' hz = sin ^ • -^^ > 



2« •'y(i_a:2«)2«— i 2n -^ ^^'(i _ ^2«)«. 



. kn rx^~"'~~^dx . mrt p x^—^^—^dx 



2« ^';^(l_i2«)A 2« ^^(j_^-z«)2„_^ 



A;r rar'"-^^— «"— 1 dic . mrt roo'"-*-^—-"^^dx 



sin — . / — — = sin ^ • /- 



•in 



Or, je ne m'arrele pas a donner des exemples; il est aise de voir qu'on en peut tirer des reduc- 

 tions assez rcmarquables ; comme si h = n — /w, on aura: , 



r ar" ^ dx , mrt r ^" "^dx 



fe = *^»& ^n ' k — ; 



y ( 1 — «2«)"-»-'" ^ " -^ y (1 _ ar^ n)2«— ^ 



31. Considerons encore un produit infini, que j'avais trouve pour la tangente d'un anglel 



i , , mn mrt i (2n — m) ' 3(2n-i-m) 3(4n — m) 



zmmtKi Aob f}-miA tang—^r^ r.^^ ( * sW i'jk ^ «tc. 



" 2n 2(n — m) 2(n-i-m) 2(3n— m) 4(3n-t-m) 



et que nous rdpresentons en sorte 



m;r 2n. 2n(n-Hm) (3n — m) 4n . 4n(3n-i-m) (5n — m) 



mTt n . 3n(2n — m)(in-t-m) 3n.5n(4n — m)(4n-f-m) 

 2(n-m)lang-— '^ ^^ ' ^ '^ ' 



2n i.. 



etc. 



qu on peut reduire a un produit de deux formules integrales, qui etant en general 



V — n 



f4.m(a-*-v)(a-*-n) 'ifi .'im(a-t-v-t- fi) (a-t-n-t-m) 

 aa(fi-t-v) (m-i-n) (a -t- fi) (a -t- m) Ci f(, -t- v) C^m -t- rC) '' 



ou Fon voit d'abord qu'il faut prendre ^==iw = 2/i, et ensuite il reste a rendrc: 



-• ' ^ (n-4-m) (3n — m) (a -t- v) (a -t- n) 



n.3n(2n — m)(2n-+-m) aa(fi-t-v) (m-t-n) 



Quon prenne donc a-^-p^n-t-m et a-i-n=dn — m, on trouvera les quatre solutions suivantes: 

 I. v = m; n = — m; a = n; a = 3n; /u = 2n; m = 2n, 

 II. v = m; n = n; a = n; a = 2n — m, ft = 2n; m = 2n, 



III. >/ = — n; n = — m; a = 2n-^m; a = 3/i; /< = 2/i; m = 2n, 



IV. v = — n; n = n; « = 2/i-+-/w; a = 2n — m; ju = 2n; m = 2n. 



32. Voila donc les quatre reductions qui s'en suivent: 



aj" ^ dx r sc^" — ^ dx rt . mnr 



/x" — ' dx p 



Zn * /2/ 



4.//1 _on\<>/i_/n '1 . 



cot 



V(i_a;2")2"— ^ y^(i— a;2«)2n-t-/n 2m(m — n) 2n 



r ap — ^ dx ras^" — '" — ^ dx Jt mrt 



>/(! _ x^") 2"T-^ ^ *>^(i — ^*«)« 2 n (n — m) 2 n ' 



