428 Mytsov L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysh 



, r x' dx p xdx 7t ^Tt 



^t/CT^^O) * M» - «''^) ~ 30 ^"^ To * 



/• x^dx r dx rr ^tt 



7(1 —x»0) * JV{i -a;iO) ~ 40 *^"^ T' - 



/x^tdx /• da; . "^ 



V(i —»10) * /y(l -a;iO) ~ "^ 10 ' 



/> xxdx r xdx nr 



f x^dx f x^ dx . 7t 



■ MT-»io,- 77(1^10) ==*tang-, 



p x^dx /• x^ dx 3 Tt 



/y<i -^io) • jvii^io) — 2 *^"& y» 



39. En combinant Ics quotients avec les produits de chaque classe, on en peut former de 

 nouveaux produits, ce que je ferai voir en general; car ayant ce produit: 



rap-^^ — ^dx rx" — * — ^ dx n krc 



JV(\ - »2") ' J V^i- ar*«) ~~ 2^;;* *^"^ 2t» * 



et oulre cela, ces deux quotients: 



I l*x" — ^* — ^ dx rx^ — ^ dx ait 



. *• j-Vii-x-'") ' i7(l^^)~~^"§^2^' 



,, rx^-^-^—^dx /• «2«— /J— 1 da; n-S /Jtt 



"• Jl/ii-x'") 'J y(l-a;2«r~~F ^"^2^* 



Combinons le produit avec le premier quotient, en posant a = n — /c, et nous aurons en les 

 multipliant 



/^n-H* — l clx f a^~^ dx ft 

 "7(1- «2«)^ • 77(1 - a?2«) ~ 2^' 



Ensuitc, pour le second quotient, posons /9=/i — k, et en multipliant, nous aurons: 



rx^"—^—^dx /•ar"— *— 1 da; ;r •. fvr» 



J -/(1 — «2") y V{i—x^") 2n{n — k) 



qui ne differe pas du precedcnt. Ainsi, pour chaque classe nous aurons deux prodruits gcnc^raux: 



I ra/^~*-^- — ^ dx raP — * — ^ dx ^ * ^^ 



*• yi^(T^r:^«y *y y(ni^«)" ~ iTTfc "^2^' 



11 /•x""*"^ — ^ dx ra^rr^dx n 



Jl/{i-i^'^ ' Jv(i^x'^") 2^ ' . 



dont le dernier convient avec ceux que j'avais dcja demontres autrefois. 



i'i '■"■ 



40. Devcloppons ces produits pour quelques cas, ou /i et /c sont des nombres cntiers, et nous 



aurons lcs rcductions suivantcs pour le cas £c=l: 



•a/"— 1 dx 



I. Produits de la formc /Vtt — ^z'- 



JV{i—x*) 



Jf xxdx c dx n it rt 



V{,\-x*') JV^i-x^) 4 ^^ 4 4 



