430 v L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



ki. Apr^s ces intcgrations des formules, qui sont toutes comprises dans cette formule g^nerale 

 yx"'~^dx (1 — £c")^ et qu'on peut nommer algebriques, puisque dx y est multiplie par une 

 fonction alg^ebrique de x, je passe, comme je me suis proposc, a considerer encore quelques formules 

 integralcs ou le difFerentiel dx est multiplie par une fonction transcendante de a?, et dont l'inte- 

 grale, dans un certain cas, se peut exprimer algebriqucment, ou par la quadrature du cercle. Ces 

 cas sont d*autant plus rcmarquables, qu'il nous manque encore des methodes pour les traiter, et 

 partant les observations suivantes serviront peut etre a decouvrir de telles methodes. 



k2. Je ne m'arreterai pas ici a cette formule integ-rale assez connue J dx{l — )", dont on sait 

 que la valcur, au cas qu'on mct apr^s Tintcgration £c=i, devient = 1 . 2 . 3 . . /i; de sorte que 

 cette valeur peut etre assignee, toutes les fois que Texposant n est un nombre entier. Mais quand 

 n est une fraction, la valeur est beaucoup plus difficile a assigner. Ainsii, si n= g-> j'ai demontre 

 que la valeur de Tintegrale J dxY l—j au cas x=i, est = — V^r. De la, on -tire aisement ces 

 integrations qui en d^pendent: 



f, ,, l ,' 1.3.5.7,, 



puisquil y a en general 



donc posant apres rintegration x=i, a cause de ^ — =0, on aura: 



fdx(l^r = mfdx(l'-y"-'. 



^3. Cette intcgration du cas w = ^ se peut exprimer de cette maniere: 



dx{l^Y=^y-jy^^^ posantaj=l, 

 et pour les autres fraclions mises pour n, j'ai trouve les reductions suivantes: 



/..(4)i=>'i/^..^ 



xdx 



fdxiiL)l = i\^\f^.f, 



3 -'y'(i_a.3)2 -^(i^ajS^z 



xdx r x^ dx 



- — j 



l/{i-x^) •'^(i-x^) 



fdx(i-y = V:^ /ir— — - • A,; " , • h 



xxdx 



v^Ci - «*)« "^ y^{i - 0!^)' " >^(i - «*)» 



