440 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Afwiym. 



Quaestio scilicet huc redit, ut ejusmodi binae functiones algobraicae ipsius z inveniantur, quae pro 

 coordinatis x et y substitutae praebeant y{dx^-t-dy^) = — . Postquam equidem hoc problema 

 multis modis tentavi, aliisque insignibus Geometris enodandum proposui, neque eg^o, neque quisquam 

 alius solutionem assequi potuiraus: cum tamen in genere si quaeratur curva algebraica, cujus recti- 

 ficatio a logarithmis pendeat, problema sit facillimum, atque adeo parabola conica ei satisfaciat. 

 Unde concludendum est hoc problema vel omnino nullam solutionem admittere, vel metbodum ad- 

 huc plane nobis incognitam requirere. fvV 



k. Evenire quoque posse videtur, ut hujusmodi problemata unicam tantum solutionem admit- 

 tant, neque plus una curva exhiberi queat, cujus arcus per datam formulam integralem exprimantur. 

 Equidem hoc sum expertus in formula J-r — — — r> qua arcus circuli exprimitur: nullam enim aliam 

 lineam curvam algebraicam invenire potui, cujus arcus per eandem formulam exprimeretur. Sic nulla 

 videtur extare curva algebraica, cujus arcui cuicunque aequalis arcus circularis exhiberi queat, etiamsi 

 innumerabiles lineae algebraicae sint notae, quarum rectificatio a rectificatione circuli pendeat. 

 Statim enim atque hae curvae a circulo sunt diversae, earum arcus aequantur aggregato ex arcu 

 quodam circulari et linea geometrice assignabili, quae nonnisi certis casibus in nihilum abire potest. 

 Idem tenendum est de formulis f-77^ r et P aliisque, in quas illa formula At— — ~r 



Jy(iaz — zz) Jaa-*-zz * ' ^ jy(aa — zz) 



per substitutiones transformari potest. "•!'<»? 



^*'^ ' 5. Dantur tamen etiam ejusmotii formulae fZdz, pro quibus innumerabiles curvae algebraicae 

 exhiberi possunt, ita ut infinitae curvae algebraicae assignari queant, in quarum una si capiatur arcus 

 quicunque, in reliquis omnibus pares arcus abscindere liceat. Huc imprimis pertinet problema olim 

 a Celebb. BernouIIiis tractatum, quo curva algebraica quaerebatur, cujus rectificatio cum rectifica- 

 tione curvae elasticae conveniret, seu per hanc formulam j, ^_ ^ exprimeretur: invenerunt euim 

 lineam quarti ordinis, ob figuram lemniscatam dictam, quae huic scopo satisfaceret. Ostendaro autem 

 praeter lemniscatam infioitas alias exhiberi posse curvas algebraicas, quarum arcus generatim per 

 eandcm formulam exprimantur. Cum igitur lemniscata, doceute III. Fagnano^ hanc habeat insignem 

 proprietatem, ut in ea perinde atque in circulo, arcus quotcunque aequales abscindi queant, eadcm 

 proprietas quoque in omnes curvas, quarum arcus per eandem formulam A°"_^ exprimuntur, 

 competet; quae ergo merentur, ut diligentius evolvantur. 



6. Methodus quidem^ qua hanc investigationem suscipio, per se satis est plana, et ope calculi 

 ahgulonim facile expediri potest. Si enim arcus cujuspiam curvae pcr hanc formulam fZdz debeat 

 exprimi, vocatis coordinatis orthogonalibus aj et j, atque introducto angulo quocunque y, statuatur 



doj = Zdz cos 9? et rfj = Zdzsin9P 

 sic enim prodibit arcus elcmentum 



y(da?'-i-dj^) = Zrfr, ipseque arcus = fZdz. 

 Unde quacstio huc redit, ut qucmadmodum arcus (p ad variabilem z comparatus esse dcbeat, in- 

 ▼estigetur, ut ambac formulae ZdzcQ^(p et Zdzsincp evadant intcgrabiles: quippe quod conditio> 



