De curviSy quarum rectificatio per quadraturas mensuratur. 411 



qua curvac debcnt csse algcbralcae, postulat. IJunc in Gnem illae intcgrationes pcr solos sinus et 

 cosinus angulorum suut absolvendae, neque ipsi anguli, qui formulas reddercnt trausccndentes, sunt 

 admittendi. •' *^ '""^* 



]>e Gurva lemnijicata. 

 7. Propositum ergo sit curvas algobraicas investigare, quarum arcus indefinite per hanc for- 



mulam intcgralem /\° exprimantur, et posilis coordinatis orthogonalibus x el y statuamus 



aadz ^ , aadz . -08 ^wJ *I'>q ^'T^ 



aadz 



quas formulas absolute intcgrabilcs reddi oportet. Ut partem . 4_.4\ quoque ad calculum angulo- 

 rum perducam, pono zz = aasmOy ut fiat V{a^ — z*) = aacos6/, et ob z^aVsin^ erit 



, add coad aadz add 



Hinc itaque nostrae formulae integrabiles reddendae sunt 



dx 



add cos 99 «. j ^^^ *'" 9 



lUUi 



Ponamus ergo q) = nO, ut sit 



Idx decosnfl 2dj/ desinnfl 



a ■/ sin a ■/ sin fl 



et Videamus quinam valores pro n sumti has ambas formulas integrabiles reddaot. 

 8. Consideremus in gencrc has formulas 



ddcosmd . ddsinmd 



— 7 et — 7 



y sin 9 y sin fl 



et perpendamus quomodo ad simpliciores revocari possunt. Talis enim reductlo unica via esse 

 v!dt>tur ad casus integrabilitatis eruendos. Statuamus ergo primo 



P = cos(w — i^O.ysmO, 

 et difFerentiando habebitur 



, p — (m— l)dOsin(m— 1)9 . sinfl-i- \ dflcos (m — 1)0 . cos fl 



.. ;;. V sin d * 



Gum aulem sit sin a<9sin^ = — cos (« — i)0 — — cos(a-i-l)^ 



1 1 



et cosa^cos6?= — cos(a — i)0^~ cos{a-*~i)0, 



. ,p — (2m — 3)dflcos(m — 2)e-H(2m— l)decosml9 



^ysinfl 



unde obtinetur 



•dOcosmO 4co8(m— l^aysinfl 2m — 3 r dfl co8(m — 2)( 



/(f0cosm9 4co8(m— l)6y 8in0 ^m — 3 r 

 y«infi 2m — 1 *~2m— 17 TsinO 



9. Si deinde simili modo statuamus 



Q = sm{m'-i)oy smO, 



erit difierentiando 



L. Coleri Op. pottboina. T I. 56 



