De curviSy quarum recltpcatio per quadraturas mensuratur. 

 11. Ut in cocrOcieDtibus angulorum fractioncs cvitemus, ponamus = 2c»}f ut sit 



zz = aasm2(o, seu sin2a7 = — > 



U3 



aa 



ande erit 



sin6>=|-y(i-H-) — iy(i — -) et cos« = |y(iH-^')-+-iy(i-"). 



2 ^ aa^ 2 ^ aa^ 2 ^ aa^ 2 ^ aa' 



Atque indnitas curvas algebraicas exhibere potcrimus, quarum arcus seu valor integralis 



iMjmwj ic'» 



praecise Oat aequalis formnlae 



iq 



r aadz r do 



JV(a*- z*)~Vv7i 



fV(a*— z*) ^Jy sin 2 w 



Ac curva quidcm prima caque simplicissima his continebitur coordinatis 



... . , .X « = <icos6)"|/sin 2« et r = a sinwVsin 2g?, ' ,. 



ex quibus fit xx-^yy=^aasv[i2(o et y(£cxH-;yj) = aV sin2w. Hiac ergo porro elicitur 



X ■ , y 

 cos G) = ,-77 r et sm « = -77 r > 



y{xx -+■ yy) y{xx ■+■ yy) 



ideogue sin26) = 2sin(»cos(» = — ^^« Quo valore substituto hahebitur aequatio inter solas x 



^ xx-^yy * 



et y pro curva 



(oja; -I- ^V = 2 a a a;y , 



quae est ipsa aequatio lemniscatae. 



12. Secunda curva algebraica, cujus arcus per eandem formulam 



raadz r dct 



JV{a* — %*) ~ ^yysin2o* 



exprimuntur, continebitur his coordinatis 



^^■^■•' 03 = Y (cos 56J-f-2cos a>) y sin2w, 



3^ = y (sin 56) -i- 2 sin w) y sin 2«. 

 Tertia porro curva aequc satisfaciens his: 



05 = — (cos967-H— cos5w-f-r-^cos6?)ysin2w, 



5 ^ i 3.1 ' 



'. ' " *qijiu/H 



n. A A 9 



;. r = -=- (sin 9w H--x-sin 5wH-r--7 8in6))y sin2w. 



^ 6 3.1 ' 



"Mfjnth JdB 



6.4 



6.4.2 



Quarta vero his: 



a;=4(cos 1367-*-— cos96)-h^ cos56)-*-^^4^cos6})y sin26), 

 7^ 5 5.3 5.3.1 ' 



r=— (sin 136)-!- — sin^w-t-r^ sin56)-+- ^^^^ sin 6)) y sin 26). 

 " 7^ 5 0.3 0.0. i 



Quiuta hinc sponte formari potest 



'.iiyiq/.a 



