Ui uAn- > t L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



a , ,- 8 .^ 8.6 o 8.6.4 _ 8.6.4.2 \^/ . r>. 



a3=-^(cOS I7w-l-y COS 13W-I-— COS 9fOH- COS 06? -i- ■ COSCJjK sin2<Q, 



o , . ._ 8-4^ 8-6 . n 8.6.4 . _ 8.6.4.2 . s / . ^ 



y = — (sin !7cJ-f- ySin 136?-i- z— = sin 9cj-<- sin5cj-H sin6?) y singcj. 



13. Sic igitur inOnitas nacti sumus curvas algebraicas, quarum rectificatio plane congruit cum 

 rectificatione lemniscatae, ita ut cuique arcui hujus curvae in omnibus illis arcus aequalcs abscindi 

 possint; vix tamen asseverare ausim, praeter has nullas dari alias curvas algebraicas, quae eadem 

 praeditae sint proprietate. Methodus enim, qua sum usus, non ita est comparata, ut pro generali 

 haberi possit, propterea quod in formulis § 7 angulum cp tanquam multiplum anguli 6 spectavi, 

 cum tamen fortasse alia relatio inter eos intercedere possit, quae ad integrationem aeque sit acco- 

 modata. Hoc inde suspicari licet, quod si aliae formulae integrales fZdz proponantur, eaeque 

 pari modo ad angulum quempiam reducantur, integratio non succedat pro angulo cp multiplum 

 anguli 6 assumendo, cum tamen saepenumero aliae relationes negotium conficiant. Hujusmodi casus 

 probe notasse juvabit, quoniam inde forte methodum latius patentem talia problemata tractandi 

 derivare licebit, si cunctae operationes, quas varia problemata singularia requirunt, diligenter per- 

 pendantur, atque inter se conferantur. Quem in finem unam atque alteram solutionem similium 

 quaestionum adjungam. .jMiued oliiiii««M« 



De Parabola. 



H. Propositum itaque sit alias curvas algebraicas investigare, quarum rectificatio conyeniat 

 cum rectificatione parabolae^ seu quarum arcus indcfinite exprimatur per hanc formulam: ^'^ ^* 



Necesse igitur est, ut coordinatae orthogonales ita se habeant 



/dz cos f ,. V fdz sio fp ,, . 

 -y{aa-¥-zz) et y=J -y{aa-k-zz)^ 'Hjrmnq 



ubi definiendum erit, qualem relationem angulus (p ad variabilem z tenere debeat, ut ambae istae 

 formulae integrabiles reddantur. Ponamus ergo — =tang^, ut fiat y(aa-f-zz) = asec<9 = — ^» 



et cum sit — = — 2— > erit arcus f—y(aa'+-zz) = f-^-^f et coordinatae: 



a cos-* J a ^ ^ J cos' d 



/dO cos m . pdd sin g> 

 s-r- €t yz=a f — -^»,. 

 cos' •' .' cos^O ' _ 



atque hic iterum observo, certa multipla anguli pro angulo 9? exhiberi posse, quibus ambae 

 formulae integrabiles evadant. Statuatur ergo ^ = np, ut habeamus pro coordinatis sequentes 

 expressioncs : 



rddcosnO ^ rdd sin nO 



x = a h — -^-r— et y = a H^i-r— 



■j. • • ■ 



15. Jam per reductionem formularum intcgralium, quali supra sum usus, reperiemus 



rdO cos nfl __ 2 sin (n— 1) 9 (n-t-1) ydO cos (n — 2) Q fdO sin nO — 2cos(n— 1)0 (n-n i) / «dOsin (n — 2) Q 



J cos^ e (n— .3) cos* 6 n — 3 -> cos'^ * J cos' (n — 3)co8'e n — 3 J co>' 



