De curvis, qmrum rectijicatio per quadraturas mensuratur. 4-4.5 



unde patet, si integratio succedat casu quocunque n = l, eam quoque succedere casibus ■■ 



/i = A-f-2, n = X-t-ky /i = Ah-6, etc, 

 sicque infinitas curvas algcbraicas ex unica impetrari. Patet autem si sit /i = 3, fore 



/dOcose 8in2(? rdd sinO co8 20 



cos^e ~2^*7 ®* J~^s^T~ 2^^* ^'^® 



/de 008 sin 8 rdO sin fl 1 



cos' 6 cos fl J co»' 



quo casu prodit 



2coi*fl' 



a sin 9 a xx a sin* 6 



®~T^ ®* ^~~2co82fl' ^''S:^ 9^ — 2co*2fl' ^ Am^M 



COSe "^ 2C082fl O 2o 2c082fl 



hincque }^ — — = — , quae est aequatio pro ipsa parabola. 



XX 



16. Verum etiamsi hic unum casum integrabilitatis , quo <p = seu 7i=l habeamus cogni- 

 tum, tamen singulari fato ex eo nulli alii casus elici possunt. Si enim statuamus /i=3, ob deno- 

 minatorem n — 3 evanescentem, integralia inde pro casu ^ = 3<9 minime reperiuntur. Casu autem 

 n = — 1 formulae praecedentes redeunt, ita ut propter hoc incommodum nullus aditus ad curvas 

 magis compositas pateat. Videri ergo posset parabola pari conditione praedita ac circulus, ut 

 praeter se ipsam nullas alias agnoscat curvas algebraicas secum commensurabiles. Ex ipsa verum 

 angulorum compositione manifestum est, quicunque numerus integer excepta unitate pro n statuatur, 



formulam J- ^y- nunquam integrabilem evadere, sed semper per integrationem ipsum angulum 



induci. Interim tamen alia methodo quaesito satisfieri potest, unde non difficulter talis curva 

 eruitur ^ 



x^ — zY^k-^zz) et j=y(4.-f-zz), seu y^ = k {xx-^yy\ pro qua est y{dx^-^dy^)=dzy{{-\-zz). 



De EUipsi. 



i7. Progredior ergo ad curvas algebraicas indagandas, quarum arcus cum arcubus ellipseos 

 sint commensurabiles. Quaestio igitur huc redit, ut curvarum inveniendarum arcus exprimantur 

 per hanc formulam ydzl/(l-*-r-— — ), quae est formula pro arcu elliptico abscissae z respondente, 

 dum applicata est = /n>/(l — zz). Pro curvis ergo, quas quaerimus, statuamus coordinatas 



a; = /dzcos9Pl/(l-»-p^) et J = /disin 5Pl/(l h-^^), 



et videamus quomodo angulus g) capi debeat, ut ambae istae formulae Cant integraDifes. Ponamus 

 z = sin ^, et hae formulae erunt 



X = fdO cos (p "/(cos' 0-t-mm sin* 0) et y = fdO sfn (p ^/(cos' -h mm sin* 0) , 



■'» «>t< i 



ubi manifestum est, quaecunque multipla anguli pro (p statuantur, has expressiones nullo modo 

 ad integrationem perduci posse. Aliis ergo artificiis erit utendum, siquidem certum est dari curvas 

 algebraicas quaesito satisfacientes. 



