De curvisj quarum rectificalio per quadraturas mensuratur. ikl 



unde Gt mmxx-k-yy = mmy ideoqiie y = ;wy(l — xx)^ quae est aequatio pro ellipsi proposita, 

 cujus arcus ob £c = sin^ = z utique est /c?zy(l -t-^^^-), uti requiritur, erit enim 



x = z et y = my{\ — zz). 



Aliae vero curvae, quarum eadem est rectiflcatio, prodibunt, si numero n praeter unitatcm alii 

 valores tribuantur. Sit igitur /i = 2, atque babebitur 



a;= 2^ (/«-♦- I)sin6? — - {m — l)sin 3^, j = — y (/w-*- 1) cosT?-*- y (m — l)cos3<9, 



'»B efifi ftt\. IR» aifljiiqiflj 

 onde fit xx-^yy= j (»»-*- 0' "♦" ^ (''* "~ 0* 6 {^^ — cos2^, seu 



5 4 5 1 



ajajr-i- rr = — mm-+- — m-\-— — -^(mm — 1) cos2<9. 



'jvi :r»q ii! *^ 9 18 6 ^ 



Verum praestat uti formulis iUis pro cc et >• inventis, quia ad cognoscendam et construendam 

 curvam sunt maxime idoneae. 



21. Antequam in evolutione horum casuum ulterius progrediar, notari conveniet, quantitatem 

 m tam negative quam affirmative capi posse, propterea quod in expressione arcus quadratum mm 

 tentum inest. Verumtamen iidem casus resultant, si numerus n negative capiatur, ita ut quan- 

 titate m ambigua assumta, non opus sit pro n valores negativos statuere. Hinc ergo quilibet 

 numerus positivus pro n sumtus duas praebet lineas algebraicas, prouti m vel affirmative accipitur, 

 vel negative; sicque post ellipsin has duas habebimus curvas satisfacientes 



03= ^-(w-f- 1) sin^ — — {m — l)sin3^, x=^{m — l)sin^ — — (/w-#- 1) sin 3<9, 



1 1 11 



4.U < 7 ==Y ('"-*- <^os^ — — (m — l)cos3<9, y== — {m — 1) cos.^~ g-(/w-+- 1) cos 3<9, ,.,;] 



nl)! quidem valorem ipsius y negative sumsi. Similes fere expressiones prodeunt, si ponatur /i = — » 

 unde quoque hae duae curvac oriuntur 



4 1 1 11 "i 



. sp = {m -*- i) sin — d — Y (/if — l^sin-^^, x=: {m— i)sia-^ 6 — — (//in- 1) sin y^, 



^''y=(rh^ l)'feos-*- ^-H 1 (/n — 1) cos |- ^, y = {m— i) cos-^ O-i- ^ {m-t- i)cosj 0. 



Atque evidens est eliminando arcu has quatuor aequationes ad eundcm ordinem esse ascensuras. 



22. Ponamus /i = 3, hincque duae nascentur curvae istae 



aj = j(/w-Hl)sin2^ — -(/w— l)sin^^, x = ^ {m^ i) sm20 -^ ~ (m-*- i) sm k0y 



11 11 



y = — {m-t-i)cos26 — — {m — l)cos^<9, y=—{m — l)cos2<? — —{m-t-i)smkO, 



I At si ponamus /i = — > non multum absimiles hae curvae nascuntur 



I o 



fe = -:^{m-t-i)sm-^0 — — {m— l)siny<9, a? = - (/w — 1) sin- <9 — -|- (//i-i- l)siny^,'^^ 

 r = y(m-f- l)cosy^.-i--g-(/n — l)cos— <9, y = ^{m — 1) cos-^^ -♦---(//* -4- 1) cos^^^?. v. 



