448 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



Omnes enim hae quatuor curvae tantum ad ordinem lincarum quartum referuntur. Ex quibus per- 

 spicuum est, quomodo ex quavis hypothesi quaternae curvae ehci queant, ad eundcm ordinem 

 referendae, nisi quatenus forte casu ordo deprimi possit. Ilaec ergo iufinita linearum algebraicarum 

 multitudo, quarum arcus omnes per arcus ellipticos absolute mensurantur, omnino est notatu digna, 

 idque eo magis, quod pro omnibus coordinatae x et y binis tantum terminis exprimuntur; unde 

 earum constructio haud parum concinna adornari putest, etiamsi plerumque curvae ad altiores 

 linearum ordines referantur. 



23. De his autem omnibus lineis imprimis est notandum, eas ad classem Epicycloidum et 

 Hypocycloidum pertinere ac per motum volutorium circuli super periphcria alterius circuli, sive 

 extus sive intus describi posse. Hoc autem hae curvae a vulgaribus epicycloidibus et hypocycloidibus 

 differunt, quod in circulo mobili punctum describens non in ejus peripheria, sed sive extra sive 

 intra eam assumi debet. Si enim in pertpheria caperetur, quo casu epicycloides et hypocycloides 

 vulgarcs prodirent, curvae descriptae absolute essent rectificabiles, neque idcirco ad nostrum insti- 

 tutum essent accommodatae: sin autem punctum describens in ipso ccntro circull*mobilis assumere- 

 tur, curva descripta perpetuo foret circulus. Verum sive punctum describens capiatur extra, sive 

 intra peripheriam circuli mobilis, hoc modo semper curvae describuntur, quarum rectificatio per 

 arcus ellipticos absolute confici potest. Nostrae erg;o curvae prodibunt, si distantia puncti descri-; 

 bentis a centro circuli mobilis sive major fuerit sive minor quara ejus semidiameter. [ joiimn 



2%. Natura autem hujusmodi linearum accuratius perpensa, curvae, quarum arcus per arcus 

 datae ellipsis mensurantur, ita describi posse deprehendentur. Sit in ellipsi proposita ratio amborum 

 axium principalium =i:»i, ac posito radio circuli mobilis =r, capiatur distantia puncti descri- 



bentis ab ejus centro sive = rr, sive = -r, Tum si iste circulus super quocunque aho 



circulo sive extus sive intus provolvatur, ab utroque puncto describente semper ejusmodi curva 

 describetur, cujus rectificatio cum rectificatione ellipsis propositae conveniet. Quo autem curvae hoc 

 modo descriptae fiant algebraicae, necesse est, ut radius circuli mobilis ad radium circuli immoti 

 rationem teneat rationalem, quae quo fuerit simplicior, eo minus curvae descriptae erunt compositae: 

 ac constituto quidem circulo immoto, sive mobilis extra eum, sive intra volvatur, tum verq sive 

 punctum describens extra sive intra circulum mobilcm accipitur, quaternae illae curvae describentur, 

 quas conjunctas inveneramus. 



25. Opcrae pretium fore videtur harum linearum epi- et hypocycloidalium proprietates prima- 



rias, quatenus huc pertinent, ac praecipue earum rectificationem attentius contemplari. Sit ig^itur 



* (Fig. 50, 51 item 52,53) C centrum circuli immoti JQy ejusque radius C/^= C(2 = «, super cujus 



peripheria volvatur circulus OLRQFy cujus radms^ OQ^OR = r; sitque punctum describcns M 



in radio OR, ac vocetur OM=^ur, ita ut sit sive u= ., sive u = j* Hoc modo a stilo 



M descripta sit curva DM^ cujus initium D ei respondeat circuli mobilis situi, quo punctum R 

 tangebat circulum immotum in A. Hinc ergo ex natura motus volutorii erit arcus QR aequalis 

 arcui QA. Quare si dicamus angulum ACQ = (py ob arcum AQ = QR = acpy erit angulus 

 QOR = — (p, Vocemus aulem brevitatis gratia hunc angulum QOR = a<py ut sit a = — • Tum 



