450 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiy,u. 



dm = fcddy{\ -^[mm^\)sm^d) = fcdOV{~[mm-\-\)—^{mm-^\)cos2d), 

 quae forma ut illi pro ds inventae aequalis reddatur, fieri oportet 



6 = ^q) = -^Q0R et T = -^ — > seu m = ± r 



VM 



vel, quod eodem redit, capiatur m = — in Figg-. 50, 51, 52, 53, eritque arcus ellipticus 

 Superest ergo, ut sit^-^ — — a-t-r, unde semiaxes ellipsis fiunt 



i*3lftjC- , 2(;a — l)r(a-i-r) , , 2(;U-H l)r(a-»-r) 



*"*^^-~ ca = cb = — — et cd = ce = — ~ 



a a 



29. In genere ergo habebimus hanc constructionem pro' ellipsi quaesita: 



semiaxis ca= — — — et semiaxis cd = ce = — ^ — » 



CQ vfj 



iqua descripta circa centrum C radio ca = ch delineetur circulus afbg, tum ducatur radius cn ita, 

 ut sit angulus fen = -^QOR, et per n ducta recta pnm axi majori de paraliela, erit arcus ellip- 

 ticus dm aequalis arcui curvae supra descriptae DM. Unde patet, si circulus mobilis jam per 

 semiperipheriam fuerit provolutus, quod evenit cum punctum F circulo immoto applicabitur, tum 

 longitudinem curvae descriptae aequalem fore quadranti elliptico dma. Gum autem circuius mobilis 

 integram revolutionem absolverit, tractus curvae descriptae semiperipheriae ellipticae dae erit aequalis; 

 sicque uti ellipsis est curva in se rediens, ita provolutione continuata longitudo curvae continuo 

 crescet. 



30. De his curvis adhuc notari meretur ipsam quoque ellipsin inter eas comprehendi. Si enim 

 pro hypocycloidalibus sumatur radius circuli immoti aequalis diametro circuli mobilis seu a = 2r, 

 vel si in nostris formulis § 27 ponamus r = — y^j habebimus 



x = -^ a cos 9? H- — jua cos 9? = — (1 -+-//) r cos gp, 



— a SHi 9? — — fia sincp = — (1 — /u) rsm ff. 



unde prodit 



yy 

 -t-Ti 7-., =rr, 



(!-*-;« )2 ii-M)- 



quae est aequatio pro ellipsi, cujus semiaxes sunt (a — l)r et (//-4~l)r seu MR et MF, estque ea 

 ipsa ellipsis, cujus arcubus nostrao curvae mensurantur: uam ob CQ = 2C0 fit utique ca = RM 

 et cd=VM. Potest itaque quaecunque elUpsis provolutione circuli intra peripheriam alterius 

 circuli, cujus radius duplo est major, describi, ubicunque enim tum stylus in circulo mobili figatur, 

 ab co ellipsis describetur. 



31. innumerabiles autem curvae, quae sint cum arcubus parabolicis commensurabiles, quanim 

 supra unam exhibui, seu ut positis coordinatis cc et j, sit 



Vidx' -H dj') = dzV{\ -*- zz), 



