De comparaltone arouum curvarum irreclificabUium. 453 



III. 



Differentietur nunc aequatio proposita, ac prodibit 



dx (/?-♦- ycc -H by) -i- dy (^ -*- yy -+- dx) = 0, > . 



unde conficitur haec aequatio 



dx —dy 



p-i- yy-t-Sx ^-t-yx-i-Sy 



quae substitutis valoribus in articulo I inventis, abibit in hanc aequationem differentialem : 



^ dy ^ 



V(A-t-^Bx-*-Cxx) -/(A-i-^iBy-^Cyy) 



cujus propterea integralis est ipsa acquatio assumta. 



IV. 



Proposita ergo vicissim hac aequatione differentiali 



dx dy 



ViA-t-^Bx-i-Cxx) /(J-i-2*y-t-Cj/y) ' 



3Jus integrale semper algebraice exhiheri poterit, quippe quod erit 



-{) — (X~t-2.6(x rVl P^(''^^-^^)('^''--yy)-^^H^C^-i-BB^-BCa)xy 

 ^^ ^^ BCiA^ — Ba) ' 



et quia hic continetur constans ab arbitrio nostro pendens, erit hoc integrale quoque completum 

 aequationis differentialis propositae. Erit ergo retentis litteris graecis 



N. 



Vel y- = —^ — Sx-t-ViA-t-^iBx-i-Cxx^p 



7 



vei x — -^-^y-'^('^^^^y-*-^yy)p 

 V. 



Quemadmodum autem istarum formularum intcgralium. differentia 



/dx r dy 



V(A -t- 'iBx -t- Cxxj "" Jv^A-i-iBy-t- Cyy)* 



est constans, siquid(^m inter a? et 7 ea relatio subsistat, ut sit 



. = cc-i-2j3 (x-i-y)-t- y (xx-i-yy)-i~2dxyj 

 ita etiam eadem manente relatione, diffcrentia hujusmodi formularum 



/' x^dx r J^dy 



V(A -*- 'iBx -H Cxx) J ViA-^-^iBy-i-Cyy) 



commode cxprimi potest; quos valores indagasse operae pretiura erit. 



VI. 



Posito crgo exponente n = 1 , statuamus 



f^f ydy .rr 



V^A-^^Bx-i-Cxx) V^A-t-^iBy-t-Cyy) ' 



eritque valoribus initio traditis pro his formuiis irrationalibus substitucndis 



