De comparattone arcuum curvarum irrectijicdbilium. ^ ^67 



VI. 



Ponamus ad hanc aequationem concinniorem reddendam xx^yy=tt et ay = a, ut sit 



et aequatio nostra difTcrentialis erit 



y {x^ dx -^ y^ dy) ~\- bu (xdx -k-ydy) -^ ^uu (xdx-^ydy) = 

 ^{yBtt-i-iyy-^dd^u-i-y^ttu-^^d^uu-t-^^u^). 



At est xdx-^ydy = tdt, et ob x*-*-y^==t^ ~ 2mk, erit x^dx-i-y^dy^^dt-^udu. Porro 



aequatio canonica differcntiata dat 



?ii»^ • I» 

 yidt-^ddu-^^udu=:0, ideoque <(?g= ~^^"~^"^", 



unde fit a;da5-Hjdj = da — — wdtt et aj^ da; -i- r^ dV = ttdu — —ttudu udu 



7 7 7 7 



VII. • " cd i^ 



His igitur valoribus substitutis obtinebimus onnfribTJn oarihl 



7 7 y ^ 



dV 



y^(y§tt-^{yy-^d8)u-^-^ttu-i-2d;uu-^^^u^), ^ ' 



quae sponte abit in^^=^j ita ut sit r=^^— ?, seu r=^^^. Facto ergo p = cc\ erit 



r a;j?<fa? r yydy f ^ cxy 



JV(A-i-Cxx-i-Ex*) JV(A-i-Cyy-t-Ey*) ^^"St. yj 



siquidem fuerit = — Jcc -f- J (xx -+- jy) h- 2 aj y(^ -h Ccc -h Ec^) A — Eccxxyy , seu 



cV{A -\- Cxx-^-Ex'^) A —xV{A -^Ccc-*- Ec*) A 



^ A — Eccxx 



VIII. 



Quo nunc rem gcneralius complectamur, ponamus 



>\n 



r a?"*^ n y^dy ^ 



JV(A -f- Cxx -t- Ex*) 'V(A -¥-Cyy-^ Ey*) * 



erit x" dx(yx-^8y-i- Cxyy) h- y^^dy (yr -f- ^£C -i- Cxxy) = ..... 



^ (y5 tt -I- (// -f- ^^) u -H y^«M _j_ 2 5^ «tt -I- ^^u^) , 



posito ut ante xx-^yy = tt et ary = M. Erit ergo xx — yy = y{t^ — 4««), undc 



2 -' ' r ' 3 ' ^ ^jj^r, 



n/«-l-y(«4— 4lt«) . i/« — -/((4— 4«U) 



a;=K ^ et y=V ^-^ h 



x = \V{tt-^2u)^^y{tt—2u) et r = 4-"/(tt-*-2«) — -iV(tt — 2m). 



seu 



Quare differentiando habebitur 



dx = 



tdt -t- du 



tdt — du duiy—S — ^u) du {y -*- 8 -t- in) <'.*>'K|x3 J 



2y(«-H2i.) 2y(«-2i«) 27V(tt-»-2i») ^yV(u-<iu) jaifUOTR c(i-inoi}*iiM| 



• 



