472 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Amiym. 



His igitur duobus valoribus inter se aequatis determinabitur q per /", g et /), uti problema exigit; 

 et quia abscissa e est cognita, erit 



Arc.fg — Arc.pq^neipq-^fg). 



Sicque difFerentia arcuum fg et pq est geometrica, et arcus quaesiti pq alter terminus ab arbitrio 

 nostro pendet. Q. E. L 



H. CoroU. 1. Datis ergo punctis f, g et p, quartum |)unctum q, seu ejus abscissa CQ = q 

 ex hac aequatione debet definiri 



gV(i - /D (1 -n/n - fVi^ - 99) (i - ngg) _ qV(l - pp) (1 - npp) -pVjl - qq) (1 - nqg) 

 .yf^ j,. i—nffgg l — nppqq. 



ye\, quia haec formula non parum est complicata, quantitas e ex hujusmodi aequationibus simplicio- 

 ribus eliminari poterit 



y(l __ee) _ fgy(^\ ^nee) = V(i —ff) (1 --gg) et V{i .^ee^—pqVii—nee) = V{i —pp) (i—qq) 

 yu^nee^—nfgVii—ee^^Vi^—nfDii—ngg) et V(i—nee)—npqV{i-^e)=V(i—npp){i—nqq)', 

 unde elicitur 



V{i-'ff){i-99)-pqyi^--'rilf){i-ngg) = V{i—pp){\^qq)^fgV{i--npp){i^nqq), 

 vel etiam 

 y(l-/iff) {i-ngg)--npqV{i-ff) {i-gg) =V{i-npp) {i-nqq) - nfgV{i-pp) (l-^g). 



i5. CoroU. 2. Ut ambo hi arcus fg ct pq fiant inter se aequales, oportet s\t pq = fg. 

 Ponatur pp -*-qq = *? ^t ambae postremae acquationes dabunt 



V{i -ff) (1 —gg^—fgVii -nff) ii-ngg)=Vii—t-^-ffgg)-fgV{i —nt-v-nnffgg) 

 V{i - nff) {i-ngg) — nfgVii - ff) (1 -gg) = V{i —ntH-nnffgg) - nfgV{i -t^ffgg), 



quarum haec per fg multiplicata ad illam addatur, ut prodeat 



{i-nffgg)V{i-ff){i-99) = ii-nffgg)Vii-t-^ffgg), 



seu 1 — ff—gg -♦- ff99 ==1 — t-i- ffgg, ideoque t = ff-\- gg =pp-i- qq- Unde sequitur arcum pq 

 similem ct aequalem futurum esse arcui fg. 



16. Ppoblema 3. Dato arcu ellipsis quocunque jTi^r, abscindere a dato puncto /) alium arcum pqr, 



qui dcficiat a duplo illius arcus fg quanlitate algebraica, seu ut sit 2Arc.fg — Arc./)gr=Iineae rectae. 



Solutio. Sint abscissac ut antc CE=e, CF=f, CG=g, CP=p, CQ=q et CR=r; ubi Be 



est arcus a vcrtlce B abscissus, ab arcu fgdato gcometrice discrepans; a quo etiam arcus pq et qr 



.discrepcnt quantitatibus gfcomctricc assignabilibus. Erit ergo 



, gVjl - /y) (i - nyf) - fVjl - gg) (1 - nyg) 



I. e= j 



II qV{i-pp){\—npp)—pV{l—qq){i — nqq) 



II. e = 1 j 



- ' 1 — npp qq 



III ^'■'^(i — ??) (i — ««?) — qV{i— rr) (i — nrr) 



III. e = 1 • 



1 — nqqrr 



Ilinc si primuin definialur abscissa e, ex caquc porro abscissac q el r, erit 



