4.76 A L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



Sicque casus exhiberl potest , in quo tam semiaxes ellipsis quam ambae abscissae f et g numeris ra- 

 tionabbus exprimuntur. 



u 30. Scholion. Simili etiam modo, si detur (Fig. 57) arcus eUipsis quicunque fg, a puncto 



quovis dato p alius assignari poterit arcus joz, qui datum multiplum arcus fg, puta m.fg, superet 

 quantitate algebraica; si enim abscissae ponantur CF=f CG = g, CP=p, CQ = q, CR=r, 

 CS=s, CT=t, et ab abscissa CP numerando fuerit CZ = z, ultima indici m respondens; tum in 

 subsidium vocando arcum Be, cujus abscissa Ce = c, ut sit 



Sf y(l - /f) (1 - nff-) - fV(l - gg) (1 - ngg) 



6 = — — ^ ■ — > 



1 — nffrgg 



ex data abscissa p sequentes ita determinentur 



t- . __ iiS ^^km pt/ (1 — ee) (i - nge) -f- e V(l — pp) (1 ~ n pp) ,*:; ,.iaw.* . 



* ^*" ..^ -. ^- l-neepp ' 



qV(l — ee) (1 — nee) -4- e V(i — qq) (1 — nqq) 



: r = i » 



'»npof»bi ,^M =^ T^n« iii» ',&'. .T. .^fo^r.i'^ 



' _ r -/(1 — ee) ( 1 — nee) h- e "/(1 — rr) (i - nrr) 



etC. .?:?:?.-,-:?:-:'- ?:?- 



donec perveniatur ad ultimam z, quae a p numerando locum tenet indice m notatum. Quo facto erit 



m.kvc.fg — Atc .pz = ne {pq -\- qr -¥- rs ~\- . . .-^yz — mfg). 



' Hinc igitur quoque punctum p ita definiri poterit, ut haec quantitas algebraica evanescat, seu fiat 



pq -\- qr -\~ rs ~\- . . .-\-yz = mfg, 



quo casu arcus pz exacte erit aequalis arcui fg toties sumto, quot numerus m continet unitates, seu 

 erit ATC.pz = m.Arc.fg, Dato ergo ellipsis arcu quocunque fg, alius assignari poterit pz, qui ad 

 illum datam teneat rationem, puta m:i. Quin etiam m poterit esse numerus fractus, seu ista ratio 

 ut numerus ad numerum fiiv, nam quaeratur primo arcus pz, ut sit pz = ju.fg, tum quaeratur 

 alius jio), ut sit no} = v.fg, eritque pz : tvo) = /u: p. Verum quo longius hic progrediamur, hae 

 formulae continuo magis fiunt complicatae, ut calculum in genere expedire non liceat. 



31. Ppoblema 5. In dato ellipseos quadrante y4B arcum abscindere fg, qui sit tertia pars 

 totius quadrantis JB. 



■" f§iolutio. Cum in genere fuerit determinatus arcus pqrs, qui sit triplus arcus fg, dum hic 

 arcus tanquam cognitus est spectatus, nunc vicissim calculus ita instruatur, ut punctum p in B, et 

 punctum s in J incidat, seu ut sit /) = et s=i. Formulae ergo modo exhibitae abibunt in has 



2 e"/(l — ee)(l — nee) . rVii — ee) (1 — nee) -h e V^l — rr) (1 -- nrr) 



seu r 



1 — ne* 1 — neerr 



i — ee , s ■/(! — ee) (1 — nee) — e V(i — ss) (1 — nss) 



, ; 1 — ce , a y (1 — ee) (1 — nee) — e y (1 — s«) (1 — nss) j p* n / j \ m l 



= V- j ob r= — ^^ — j-^ -i unde fit 2e(l — nee) = i — /le*, 



1 — nee 1 — neess > ^ ' ' 



seu 1 — 2e-\-2ne^ — ne*=0, existente semiaxe CA=\, CB = k et n=i — kk. Primum ergo 

 ex hac aequatione biquadratica definiri debct valor ipsius e, quae resolutio commode ita succedit. . 



