478 «w^^ L. EULERI OPERA POSTHUMA. vv Anaiysis. 



34". Deuotet 11. x arcum abscissae x respondentem, et 11. y arcum abscissae y respondcntem. 

 Quia facto £c = fit j = c, erit IT.x — Tt.y = — TI.c — ncxyy seu j,(i;. 



Ti.y — TI.x — Il.c — ncxy. 



35. Ob l/(l -I- cc) (1 -I- ncc) ambiguum, poni quoque poterit 



{• cV(l -t- cex) (l ~i~ ruKx) -i- xV(^ -*- ce) (i -*- ncc) 



;>i '" ^ 1 — nccxx 



eritque 11. y — 11. x — n.c = ncocy, secundum ea, quae de ellipsi § 3 sunt exposita; atque binc 

 sequens problema solvi poterit. 



36. Problema 6. Dato arcu nyperbolae Je a vertice sumto, abscindere a quovis dato puncto 

 f alium arcum fg, ut difFerenlia horum arcuum fg et /le sit geometrice assignabih*s. 



Solutio. Ponatur arcus propositi Je abscissa CE=e, abscissa data CF=f et quaesita CG=g; 

 statuatur porro 



(t — «S) eV(l-4-ff)(i-t-nff)-i- fV(i -H ee) (i -t- nge) 



'""^ " 1 — neeff" 



eritque IT.g — Tl.f — n.e = nefg. At est 



n.g — 11. f = Arc. fg et 11. e = Arc.Je, unde Arc.fg — Arc. Ae = nefg. 

 Puncto ergo g hoc modo definito erit arcuum fg et Ae differentia geometrice assignabih's. Q. E. I. 



37. Coroll. 1. Si ergo /* ita capiatur, ut sit 1 — neeff=0, seu /"=— r^, abscissa CG = g 

 fit infinita, ideoque et arcus fg crit infinitus, qui etiam arcum Ae excedere reperitur quantitate 

 infinita nefg ob g = oo. Ut igitur casus, quemadmodum figura repraesentatur, substituere possit, 

 necesse est ut capiatur f<,-—7-' 



38. CoroU. 3. Sin autem sit f^^—r^ fiet g negativum, et 11. g pariter fiet negativum: 

 unde si fuerit 



' eV(\ ■+-ff)(i-i-nff)-t- fV(l -4- ee) (1 -t- nee) 

 ■^tm »iim\ff('i " neeff— 1 



habebimus TI.e-\-Tl.f~¥-TT.g = nefg = Ae~\-Af-\-Ag. 



Tres ergo arcus exhiberi possunt ^e, Af et Ag, quorum summa geometrice assignari queat. 



39. Coroll. 3. Casus hic, quo summa Irium arcuum liyperboHcorum rectificabilis prodiit, 

 eo magis cst notatu dignus, quod similis casus in eUipsi locum non habet; ibi enim terni arcus 

 Tl.y — TI.e — TI.x = — ncay(3) nunquam ejusdem signi fieri possunt, propterea quod nccxx uni- 

 tate semper minus existit. 



40. CoroII. 4. Horum ternorum arcuum duo inter se fieri possunt aequales; sit enim 



/» .. 'ieV (i -*- ee) (\ -\- me) 



f = e, erit g = ^ — -— , 



unde prodit 2TI.e-^Tl.g = neeg, seu 2Arc.^e-i- Arc.^^r == quantitati geometricae. Si igitur 

 insuper fiat g = e, habebitur arcus hyperbolicus , cujus triplum, ideoque et ipse ille arcus erit recti- 

 ficabilis, qui casus cum sit maxime mcmorabilis, eum in sequenle problemate data opera evolvamus. 



