De comparatione arcuum curvarum irrectificabUium. 479 



M. Probleina 7. In hyperbola a vertice A arcum abscindere Ae^ cujus longitudo geometrice 

 assis-nari queat. 



Solutio. Posito hyperbolae semiaxe transverso CA = it, et conjugato = i , ita ut posita ab- 

 scissa CE=ej sit applicata Ee = ky(i -t-ee); brevitatis gratia autem sit n = i-^kk. Sit ergo 

 CE=e abscissa arcus Ae quaesiti, cujus rectificatio desideratur; quem in finem statuatur in 

 § praec. ^ = €, ut sit 



e ( H-«e)( -t-nee)_ eritque 3n.e = ne^. seu Arc.y^c = -r-/ie^ . c\rr. 



c = 



ne*-l 



ideoque rectificabilis. Abscissa ergo hujus arcus CE = e determinari debet ex hac aequatione 

 ne* — i =2Y{i -*-ce) (i -*-ncc), quae abit in hanc 



nne«— 6/16*— 4 (/i-Hi)ee— 3 = 0. ^ i m 



Ad quam resolvendam faciamus ee = — > ut prodeat 



a?* — Gnccoj — *ii(n-i-i)a; — 3nn = 0, 

 cujus factores fingantur (xx -*- ccx -t- ^S) (xx — ax-i-y) = 0; unde comparatione instituta orietur 



y-^^ = aa — 6n, y — /3= " " ^" "*" l et /?/ = — 3nn. 

 Quare cum sit {y -*- /3)^ — (y — ^y = k(Sy = — i2nn, fiet 



L jtc\ c.f, 16nn(n-i-l)* mc\ 



a* — i2naa-4- 36nn ^^ - = — i2nn, 



sive a^ — i2na*-i- 48^^«« = i6nn (n-i- i)*. 

 Subtrahatur utrinque 64- n^, ut fiat 



(aa — 4.n)^= i^n'* (n — i)'', seu aa = 4nH-yi6nn (n — i)*, 

 ergo «^V^^n-H^V^l^nn^n— i)*). 

 Invento nunc valore ipsius a, erit porro 



o i o 2n(n-t-l) . 1 , 2n(n-Hl) 

 8 = --aa — 3n-i ^^ et y = —aa — 3n ^^ 



'2 a '2 a 



et quatuor radices ipsius x erunt 



. 1 _.-.//« i _L_2n(n-t- 1). 



£C = dt— aii=y(3n — — «azt— !^-^ — ^) = nee, 

 seu cum valor ipsius a tam affirmative quam negative accipi queat, erit 



\2n ^n 4nn na '/ 



Hic igitur valor si tribuatur abscissae CE = e , erit arcus hyperbolae 



Ae = ine^ Q. E. I. 



o 



42. Coroll. 1. Si ioco unitatis semiaxis conjugatus ponatur =6, ut abscissae cnicunque 

 CP = x respondcat applicata Pp = fcy(i -•-—)> erit 



jlfiiiiiodb 



