De comparaltone arcuum curvarum irreciificabUium. 485 



unde colligitur P=y et q = -j^ qui est casus a Celeb. Joh. Bernoullio b. m. primum in Actis 

 Lipsicnsibus A. 1698 expositus. 



68. Coroll. 4. Hoc ergo casu Bernoulliano, quo /> = — , q = ~, ac proinde p^ = — et 

 pp -^qqz= ""^^ , erit arcuum differentia 



Arc . pq - Arc ./sr = '-^l^f^ (3 (ff-^- gg) ( ( n-ffgg) -ee[l -ffgg)'); 



at est e{i — ff99) = 9V{i -^f^) — fV{^ -^9'')^ unde colligimus 



ce{i-ff99)'=={ff-*-99){^-^ff99)-^f9V{i-^f''){i-^g''). 

 quibus valoribus substitutis erit 



Arc.p7-Arc./-tf = <°^'*"-^3'-J'/''-'-^'> ((ff-^-ffff)(l-Hfa)H-^gy(l-4-r)(l-^g)'), ' 

 quac abit in hanc formam 



ATC.pq ATC.rg— ^, —^ , 



quae est ipsa horum arcuum differentia a Cel. Bernoullio exhibita. 



69. SScholion. Simili modo dato quocunque arcu parabolae cubicalis fg, alii arcus inveniri 

 poterunt, qui a duplo vel triplo vel quovis multiplo arcus fg discrepent quantitate algebraica: quiu 

 etiam hi arcus ita determinari poterunt, ut differentia evanescat. Hinc ergo proposito arcu quo- 

 cunque fg, alius in eadem parabola assignari poterit, qui arcus istius sit duplus vel triplus, vel alius 

 quicunque multiplus. Ex quo vicissim pro lubitu infinitis modis ejusmodi arcus assignare licebit, 

 qui inter se datam teneant rationem. Ut autem duo arcus sint inter se in ratione aequalitatis, alii 

 assignari nequeunt, nisi qui sint inter se similes et aequales. Quod quo clarius appareat, sit 



fg = fn, pq = fi, ff-^gg = n et pp-i-qq = p, 

 erit primo , /i = ce(l -t-wim) -+- 2aw")/(( -i-e^), 



tum vero v = ee(i -t~ /u/Li)-i-2/uy{i -^e^). 



Unde ut arcus pq et fg inter se fiant aequales, oportet esse 



i 1 1 



ee {fi — m) (1 — y /ufz — — m/u — mm) -\- fiv — mn=0. 



At pro n ei V illis valoribus substitutis fit 



fjv — mn = ee{fi — m) (1 -+-ffju -h- /w// -h /wm) -*- 2 (/^ ■ — m){ju-i-m)y{i -t-e^) 

 unde debet esse, postquam per /u — m fuerit divisum, 



111 

 2ee (1 -«-y,/v« -I- — w/i-f-yfw/w) -♦- 2 (// -+- m) 1/(1 -f- e*) = 0, 



quae quantitates cum sint omnes affirmativae, solus prior factor // — /« = dabit solutionem, 



