492 L. EULERl OPERA POSTHUMA. 



(N. Fuss.) 



Methodus facilis hujusmodi quaesliones solvendi : Quaerantur numeri x el y tales, ut formula mx*-i~ny* 

 divisibilis fiat per datum numerum N. 



Primum observandum, hoc fieri non posse, nisi fiierit vel N=maa^nbb, vel N=aa-\-mnhb. Pro casu 

 priore quaeratur quadratum kk = XN±ab, quod si fieri nequeat, quaestio est impossibilis. Sin autem k inven- 

 tum fuerit, erit 



X = aN ± ap , vel etiam x = aNdtz kq 

 y=z^N±kp y=pN±bq 



ubi a, /3, p, q pro lubitu sumuntur. 



Pro altero casu quaeratur quadratum kk = kmNzt:mab, tum vero erit ut ante x=aNd-ap et y=l3N±kp, 

 vel etiam x = aN ±kq, y = pN± bq. Sit m = 2 et » = 1 , ut formula 2x* -+- y* divisibilis fiat per N=2aa-¥~bb : 

 Sumatur a = 4 et 6 = 1, erit N= 33. Quaeratur ergo kk = 33A rt 4, quod fit si A = 0, eritque /c = 2; erit ergo 

 x = 33a±l^p el y = 33^±2p. 



A. m. T. II. p. 148. 149. 



(N. Fuss.) 



Definitio. Proposito numero quocunque integro a, denotet Tta multitudinem numerorum ipso a minorum 

 ad eumque priraorum; ita erit 7rl=l, n2=\, ;r3=2, 7th- = 2, 7r5 = 4, 7r6 = 2etc. Unde patet, si a fuerit 

 numerus primus, fore 7ta = a — 1. Quo magis autem numerus a fuerit compositus, eo minor erit na. Quem- 

 admodum autem pro quovis numero a inveniri queat valor na, regulam quidem olim dedi, ejus vero demon- 

 strationem multo simpliciorem hic sum traditurus. 



Lemma. Proposito quocunque numero a, si formetur progressio arithmetica totidem terminorum , cujus 

 differentia ad eum sit prima, ejusque singuli termini per a dividantur, omnia residua inter se erunt diversa, 

 in iisque ergo occurrent omnes numeri ipso a minores, scil. 0, 1, 2, 3, 4 ... « — 1. 



Demonstratio. Sit p primus terminus et q differentia ad a prima, erit progressio arithmetica 



p, p -I- g, p ^2g, . . . i) -1- (a — 1) g. 



Quod si jam singuli termini per a dividantur, facile patet omnia residua inde orta inaequalia e&se debere. Si 

 enim hi termini p-^fiq et p-^vq, ubi fi ei v minores sunt quam a, idem praeberent residuum, eoriim diffe- 

 rentia, quae est [fi — v)q, foret per a divisibilis. At quia q est numerus primus ad a, deberet fi — v, hoc est 

 numerus ipso a jninor, per eum esse divisibilis. Cum igitur omnia residua sint diversa , eorumque numerus 

 = a, in iis necessario reperientur omnes numeri 0, 1, 2, 3 etc. . . . a— 1; semper igilur unus horum nume- 

 rorum per a erit divisibilis. 



Praepabatio ad demonstrationem. Sint \, a, ^, y omnes numeri ipso a minores ad eumque primi, 

 quorum ergo numerus per hypothesin =na, inter quos ergo primus eril 1, et uUimus a— 1. Hinc constitu- 

 antur sequentes series: 



