Fragmentorum ex Adversartts continualio. 



m 



1 



a-i-l 

 2a -f-1 

 3a-*-l 



(n— l)a-i-l, (n — l)a-f-a, (n — l)a-f-/3, (n— 1) a 



Quemadmodum igitur hic prima series horizontalis continet omnes numeros ad a primos ab usque ad a, ita 

 secunda series continet omnes ad a primos usque ad 2a, tertia vero omnes uumeros ad a primos ab 2a usque 

 ad 3a, hocque modo hae series continuentur usque ad ultimam (n — l)a-f-l-- Omnes igitur, conjunctim prae- 

 bent omnes numeros ad a primos ab usque ad na, quorum ergo numerus est n;ra. Singulae autem series 

 verticales erunt arilhmeticae progressiones differentia a crescentes. Elis praemissis sequentia problemata facil- 

 lime solventur. 



Problema. Proposito numero quocunque a, investigare valores formularum Tra*, 7ra', ;ra*, et in genere Tra'". 



SoLCTio. In schemate superiore sumamus n = a, ut quaeratur Tra^ atque manifestum est omnes terminos 

 illarum serierum , quia sunt primi ad a , etiam primos fore ad aa. Quare cum earum serierum numerus sit 

 nz=a, et cujusque terminorum numerus = Tra , omnino habebimus a . Tva, cui ergo aequalis Traa , ita ut sit 

 7taa = a7ra. Deinde sumto n = aa, ut sit na = a^, quia iterum omnes termini sunt primi ad a', eorum nume- 

 rus erit aa;ra , ideoque ;ra' = aa;ra. Atque in genere si sumatur n = a"* ~" ^, ut fiat na = a"*, multitudo om- 

 nium numerorum ad a"* primorum erit 



a"* — * Tra. 



CoBOLL. Si igitur a numerus primus, ideoque 7ra = a — 1, erit 



;ra* = a{a — 1) , ;ra^ =aa{a — 1) et 



.;ra" 



(a — 11. 



Problema. Propositis duobus numeris a et 6 inter se primis, pro quibus habeantur formulae ;ra et Ttb; 

 invenire multitudinem omnium numerorum ad productum ab primorum ipsoque minorum, sive investigare valo- 

 rem Ttab. 



SoLUTio. In schemate superiore sumatur n = b, ut fiat na==ab; et quia series horizontales continent 

 omnes numeros ad a primos ab 1 usque ad ab, quorum ergo numerus est bTua, jam .consideretur prima series 

 verticalis, quae est 1, a-i- 1, 2a-f-l, .... {b — l)a-f-l, quae quia est arithmetica, ejusque differentia a est 

 prima ad b, numerus terminorum ad b primorum =;r&. Hoc idem valet de reliquis seriebus verticalibus, qua- 

 rum quaelibet Kb continet terminos ad b primos. Quamobrem numerus omnium terminorum simul ad a et 6 

 primorum, ob numerum verticalium =;ra, erit =na.7tb, ita ut sit 7rab = 7ra .7ub. 



Hinc jam tabula pro omnibus numeris condi poterit: 



7Ti=i 



7t2=\ 



;r3 = 2 



;r4 = 2 



;r5 = 4 

 ;r6 = 2 

 ;r7 = 6 

 ;r8 = 4 



;r 9 = 6 

 ;rl0 = 4 

 ;rll = 10 

 ;rl2 = 4 



;rl3 = 12 

 ;rl4=6 



;rl5 = 8 

 nrl6 = 7 etc. 



Hinc porro patet, si fuerint a, b, c, d numeri inter se primi, tum fore 7tabcd = 7ta . 7tb . Ttc . 7td. Hinc 

 fiimiliter, si proponatur numerus a^Ji^c^rf^^iY, erit 7tN=c^~^ 7ta .b^~^ 7tb .c^f^^ Ttc .d^~^ Ttd. 



A. m. T. III. p. 182 - 184. 



