B sa- 



rO 



Fragmenlorum ex Adversariis continuatio, 495 



unde differenlialia eliciunlur (— j = /-h '-- et f~-j = /, sicque de reliquis. Unde tres aequationes, quibu 

 tisfieri oportet, erunt 



quae manifesto ad tres sequentes aequalitates reducuntur 



I. J2_^G^-f-^* = I2-HJ»f2-f-iV2 

 U. JdJ-+-GdG-^Hdff=LdL-t'MdM~^NdN 

 m. dJ^^dG^-i-dff' = dL^~i-dM^-^dm 

 quarum secunda jam in prima continetur-, ita ut tantum duae conditiones adimplendae supersint. 



Quo hae formulae magis evolvantur, statuamuis J^ -t- G^ -t- H'^ = pp , erit quoque L^ -i- Af* -*- iV* = pp. 



Quocirca ponamus 



/=psinmsinn, 6r=p cosmsinn, H=pcosn 



L=psin(i6\nv, M= p cos /x sin v , N=pcosv. 



Hocque modo alteri conditioni jam erit satisfactum. Pro altera autem habebimus: 



[dp sin m sin n-i-prfm cos m sin n-^pdn sinmcos n) ^-\-{dp cos m sin n—pdm sin m sin n-f-p<?n cos m cos n) *-f-(</p cos n—fdn sin n) = 

 (rfpsin|Usinv-*-2)rf/iC0S|Usinv-4-prfvsin^ cosr^^-f-^rfpcosiusinv— ^(//^sinjusinv-f-ijrfj^cosftcosy^^-f-lt^pcosv — pdvsin?')* 



quae reducitur ad sequentem formam multo simpliciorem 



dp^ -f- p^dm^ sin^n -f- p^dn^ = dp^ -t- p^dfi^ sin^v •+• p^dv^ 

 sive ad hanc rfm'* sin^^n -»- rfn* = rf/t^ sinV -h rfi/^ Sumere igitur licet quatuor angulos m, n et (i, v, utcunque 

 a variabili r pendentes, dummodo sit 



rfm* sin^^n -i- dn^ = dfi^ sin^v -t- dv^ 



sive tribus m, n et v pro arbitrio assumtis, quartus ii ita definiatur, ut sit du.=. --^ ! — : "*" " ~ ^ . Vel 



* sin y 



etiam introducto novo angulo 9 functione ipsius r, tantum capi poterit dm= — ^ — -. et dfi = — — ~ ^ K 



Quo facto temae coordinatae pro utraque superficie quaesita erunt: 



'} imritnilni iU niijiJo ^ : laqu» '^JS ©jb;» 



pro priori : / 1 =Jpdr sin m sin n-t-ps sin m sin n ; pro posteriori : / x ■=fpdr sin /« sin r -f- ps sin pL sin y 



^ w =^Jpdr cos m sin n -f- ps cos m sin n ; ly =.Jpdr cos |U sin v -f- ps cos (i sin v 



1 1^ =.fpdr cos n -H ps cos n , l ;s =.fpdr cos v -\~ps cos v. 



•d'jl) ih;;- - > jIb fjifrtgoJiu Luuip 



ubi denuo pro p functionem quamcunque ipsius r capere licet. •mjKut ! 



Adnotatio. Probe autem notari convenit hic alteram superficiem non pro data assumi licere, salteifi bob 

 patet quomodo functiones j), m et n assumi debeant, ut prior superficies datam obtineat figuram v. g. sphaeri- 

 cam. Cum enim in utrisque formulis binae variabiles r et s in infinitum augeri queant, facile patet utramque 

 superficiem necessario in infinitum pfotendi , neque hanc exten^ionem per quaepiam imaginaria toIH posse. 

 Quamobrem figura sphaerica neque ulla alia figura in spatio fiaito subsistens in Jiis forimilis contenta esse 

 potest. Quod autem ad figuras terminatas seu undique clausas attinet, judicium de iis aliter instituendum vi> 

 detur. Statim enim atque figura solida undique est clausa, nullam amplius mutationem patitur; quemadmodum 

 ex notis illis figuris corporeis, quae corpora regularia vocari solent, intelligere licet. Unde quatenus superficies 

 sphaerica est integra, nullam mutationem admittit. Hinc patet, eatenus hujusmodi figuras mutari posse, quate- 



