496 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Geometria. 



nus non sunt integrae seu undique clausae. Interim patet hemisphaerii figuram certe esse mutabilem; cujusmodi 



autem mutationes recipere possit, problema videtur diiHcillimum. 



A. m. T. I. p. 10 — 13. 



98* 



(Lexell.) 

 Probleua. Ex datis aliquot applicatis aeque distantibus, aream interceptam curvae proxime definire. 



(Fig. 62). l Areai AaBb = AB(^^^^^ 



II. « AaCc = Ac(^^^^±^^^^ 



III. « AaDd = AD(^^^^^:^^^^p^^^) 



IV. . AaEe = AE H^'' -*- ^^^' "^ ^H' "^ '^^""^ -*~ ^^^) 



area AaXx = AX {aAa ■+• (SBb -&- yCc -+- dDd h- . . . h- IXa?) 

 erit i, a'+-(3-+y-i-d~+' etc. =1 



II. /?-i-2y-f-35-*-4£-H etc. =^ = ^ 



III. ^-i-^^y-f-S^^S-i-i^f-H etc. =j 



IV. ^-+-2^-1- 3^5 -*-43£-i- etc. =^ 



2» 



et ita porro. Sit 



V. /3-i-2V-i-3*5-i-4''£-f- etc. =, 



5 



et sic porro. 



A. m. T. I. p. 128. 



09. 



(J. A. Euler.) 



In logarithmica (Fig. 63), cujus snbtangens AD = 1, ab applicata AB = 1 longitudo curvae in infinitum exten- 

 sae ^tf superat axem .dFetiam in infinitum productum quantitate 1/2 — 1—1 — - — • Nam sit abscissa AP = x 

 et PM=y, erit i/ = e"~^, hinc dy = — e^^^dx, et elementum arcus =rfa;V(l -+-«"" *^), hinc 



BM- AP=fdx(y{\ -i-e-2^) - 1) 

 quod integrale ab a; = usque ad a; = co extendi debet. 



Ponatur V(l -i-e—^^) — 1 = ;&, fiet e^^'' = 2z-\-zz et — 2x = l {2z -+- zz) -, ubi pro x = habemus 



z = y2 — \, et pro x = (x> fit z = 0; hinc differentiando 



j dz{l-t-z) ^ - , ^ _^ rdz(i-i-z) 

 — dx = -rr 9 et formula nostra fit — / — r^ 



quae integrari debet ab ^ = V2— 1 usque ad z = 0, vel nostra formula erit 



— dz(\ — 2^) f ergo integrando — jk -♦- / (2 -*- «) -f- V2 — 1 — i (1 -t- V2). 



Nunc fiat 2 = 0, et quantitas quaesita erit 



V2 - 1 -I- /2 - ; ( 1 -*- V2) = V2 - 1 -*- / ^ 



/2-*-l 



A. m. T. I. p. 258. 



