Fragmenlorum ex Adversariis conlimalio. 497 



100. 



(J. A. Euler.) \ 



Pboblbma. (Fig. 64.) Pro byperbola, cujus semiaxis ^C=a, posito .4P = a;, /*Af=y, «it f»y=V(2<Me-i-xrt), « 

 et ex M ad asymtotam CiV ducatur MN axi parallela, invenire excursum rectae CTVsupra curvam AM^ quando 

 punclum M in inGnitum proraovetur. 



Posito ar=oo fit nw = x, binc tanff^CiV=— et sin ACN= -r-. = -— = — » ergo CN = vVf 1 -♦- nti), 



' " n y(l-i-nn) CiV CIV ° " ' /* 



Tum vero babemus unyrj -t- aa = (a -4- a;)*, ergo 



x = V (nnyy-^aa) — o, unde ib: = —, — ^-^ — -; 

 ^ ^^ ' y{nnyy-t-aa)' 



binc arcus AM = fdy V ( 1 -t- nn )• Hinc 



•^ ^ \ nmjy-t-aa/ 



CN - ^j)/ =/dy ly(nn -f- l) - "/(nn -h 1 !^!!f^)\ 



-^ \ ^ '^ ^ nnyy-i-aa'J 



Ponatur nunc ^" = V (nn -i- 1) — V (nn h- 1 ^^^^^ — ) > erit 



' ' \ nnyy-^aa/ 



— nnaa r\ / 1 < > 



— - Sw-y (nn-i-l)-i-t'^', sive 



nn»/j/ -♦- ao 



'Af:m\. , 



1 ?/!/ i 



— 7— — -- — I- — f erjjo 



2fy (nn -»- 1) — w aa nn ° 



a -i/nn — 2v V {nn -*- i)-t-w- 



" n 2vV{nn-t-l) — vv 



Per logarithmos autem erit 



2ly — 2la = l (nn — 2uy{nn -+- 1) -h vv) ^2ln — l (2(^y [nn -h 1) — i^v>) 

 dy — dvV {i -t- nn) -*- vdv dvV {nn -t- {) -\- vdv 

 y nn — Si' ■/ (nn -I- 1) -f- w 2i'V' (nn-t- 1) — vv 



binc autem vix quicquam concludi poterit. 

 Ineamus ergo aliam viam: Cum sit 



CN— AM=V {nn-^\)fdy(i--y i\ ^.^ ^ )V 



ij y \^ \ «.„_|_i nnyy-\-aa'J 



nnaa 1 <» •» . nnao , . 



sit 7« =cosV> erit nnw-i-aa=- — — , bmc 



nn -1-1 nnyy-t-aa '^ ''"' (nn -*- 1) cos^y 



aVinn %\v?-ip — 005*95) 

 ^ cos (pV{nn H- 1) 



ubi casu y = erit cos^^co = . et cos oi = -j-, r: et «Jn 9> = -7; rr » tang cp=^f binc cd = ^lCiV, et 



'^ nn-t-1 ^ /(nn-i-l) ^ y(nn-*-l) °^ n ^ 



pro y = oo erit 9 = 90°. Ergo integrari debet a cp = ACN, vel tang93= — , usque ad 9=90°,vel tang9)=oo. 



_ aV{nn tang^m — 1) t. . 1 



Est autem ny= — y _^ .. — -» .Ponatur tang9) = « et lutegrandum a Z=— usque ad / = 00; at smq>=i 



-77/—. Hinc CiV- ^iH= V(l-f-nn). /"" /"-^— 1^^ (\ - , ^ ^ , vel 



V(l -H «) ^ / „>/(„„ _Hi) yy(nnff — 1) \ ■/(! -H «)/ ' 



CN- AM= ^ VinnU - 1) - -^ f-, ^!^""* 



n ^ ' n JV{tt-*-i) 



{nntt — 1) 



E..a„tem 7(rnr, = (l -«) >' = i-i4H-l^^^-ii|.^-*- e.0. 



L. Ealeri Op. pottbnma. T. I. g3 



