m L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Geometria. 



\. t, p dt p — du . ** A 4/.- 



scribatur t = -> fore Jjy^^^^^^^ = Jy——^==Arc.cos~ = Arc.cos~, et facto< = oo eril hoc integrale 



= — . Deinde 



^-i-ty^p dt r — uudu r dt r —u*du p dt p — «^^i,, 



. ; ... Jt^Y[nntt — \) J V(nn — Uu) ' J t^V{nntt — 1) J V(nn — uu)^ J t''V(nntt — 1) J V(nh — uu) 



4- .^xt-i-t» 



J t^V[nntt — 



'^-*-Zdu , r — u^du 



— r^ r = A -h- Bu^ "^ ^ y {nn — uu) , ubi terminus algebraicus jQt =0 tam si 



f' (f?'/!' ■■" t€H') V V [flJm "■" ttt€) 



u = n quam sx t* = 0, ergo ob A = — — '-—- ent 



/— u^ -*- 2dM ('^ -*- 1) nn r — w^du 

 V(nn — uu) /i -f- 2 •' V{nn — uu) 



/_ /7«/ 4»' 



-Ty ^ = TT- J erit 

 y (nn — wie) 2 



/' — MM d« 1 7t n — u^du 1.3 ^ Jk / — u^du 1.3.5 7t g 



V{nn -««)"" 2" * T' ^*^' y>/^nn-««)"~"2T4*T*^ ' /V(nn - ««)" ^TTe"* T * ** ®*^" 



quamobrera habebimus 



/-»r .i»T "^ C^ 1-3 1 1-3.5 1.3 4 1.3.5.7 1 3.5 g . \ 



CN-AM=-^.na[^-^^^^^-^*nn^ — ^~,n^--^^^,^^.n^^ etc.) 



Unde excessus in problemale quaesitus CN — AM pro infinito erit 



Jt /1 



— . wa — 

 2 V2 



l^ 3 2 12.32 5 4 12.32.52 7 6 



22 4 22.42 6 22.42.62 8 



quae si n fuerit unitate minus, valde convergit. 



Sequehti autem modo hoc problema elegantius solvetur. Cum sit 



CiV-^M=V(t+nn)/(?yfi-y(l-/^.— * )\ 



^ / ./ •' ^ \ 1 H- nn nmjij -h aa' J 



nn aa ., nnyy-t-aa 1 ,. a V[l — ««) 



ponatur =m et =uu, erit = — > hmcque y = — • atque 



nn -H 1 nnyy -t- aa aa «« n « ^ 



, a du 



dy= — 



n uuV{i — mm) ' 

 ubi pro y = habemus m = 1 , et pro y = 00 , u = 0. Unde fit 



CN-AM= ^" r^^(i-/(*-"^"^)) , 



y w j «My(l — ««) 

 ubi r — 777^^^ -= ~ — ~ ^^ ■ Pro altero membro — 7-T— ^^ — - • V (1 — • muu) = V(l — muu) . d . ^ "* ""^ 



J UuV{i MM) « «My(l MM) ' ' ' M 



habebimus 



/— dM t/ ,- . ^(1 — ««) (1 — wimm) rmduV{i — uu) 

 y—, : • r 11 — " WIWM) — f-" / ,/ ., ; — 

 MMy (i — «m) m •' y (1 — «imm) 



,. x»»T iiT " / >^(1— mm) V{i —uu){i~muu) rmduV{i—Hu)\ 



hmcque CN — AM= — -7- ( 1 H / —/tj-^ ~ )• 



^ Vm \ u u J V(i — muu) J 



At si M evanescit, fit V(l — wmu) = 1 — — • muu, et pars integrata sponte evanescit, ita ut jam sit 



/-»»r ATnr 1/ rduV{i —UU) 



CN— AM= — aVm / -r-~ '- , 



J V (i — muu) 



quod integrari debet a termino u=\ usque ad w = 0; sin autem integremus ab w = usque ad « = 1 , ha- 



^«^'™"'* CN-AM=aVmK^^-^. 



•' y (1 — «imm) 



cujus valor per rectificationem sectionis conicae assignari potest, uti constat. Quemadmodum revera est diflb 

 rentia inter asymtotam et arcitm hyperbolae vide Nov. Comm. T. VIII pag. 134 cas. II. 



