50i L. EULERI OPERA POSTHUMA. Geometria. 



103. 



(N. FU88.) 



Pboblema. (Fig. 67.) Angulum ACB, sive arcum AB in n partes aequales proxime dividere. 



fi 2 , n 2 



SoLUTio. In AC producta capiatur Ca = - ■ AC; deinde in radio CB capiatur Cb = rC"^; tum per 



1 



puncta a, b agatur recta arcum secans in 0, eritque BO proxime — AB. Ita si angulus debeat trisecari, ob n = 3, 



eril Ca = jAC et Cb=jCB. 



A. m. T. H. p. 26. 



104. 



(N. Fuss.) 



Theorema. (Fig. 68) Si arcus circuli quincunque ab in duobus punctisjp et q utcunque secetur, semper erit 



siu n . aq . sin n .bp = smn . ap . sin n .bq-t-sinn .ab .sinn .pq 



ubi pro n numerum quemcunque accipere licet. 



Hinc si fuerit n numerus valde parvus, erit ' 



aq .bp = ap .bq-\~ab .pq. 



A. m. T. II. p. 132. 



III. A n a 1 y s i s. 

 105. 



(Lexell.) 

 Criterium pro dignoscendis radicibus rationalibus aequationum cubicarum. 

 Quum aequationis cubicae lernae radices ita exprimantur: 



..33 3 



hae tres formae rationales esse nequeunt, nisi Vq et 'yr sequenti modo exhibere liceat : 'yq^ s-t-ty — 3 



et 1/^ = 8 — ty — 3; tum enim fiet 



I .x=p -t-2s, JI.x = p — s — 3t, III. X=p — S-»-3/; 



tum autem ipsae litterae q ei r similes formas habebunt; erit scilicet q = u-t-i^~[/ — 3 etr = w — wy — 3. 

 His praenotatis, consideremus aequalionem cubicam: x^ = 3fx-i-2g, cujus radicem constat esse 



x = y(g-i- Vigg - f')) -^y{g - y{gg - f )). 

 Ut ergo omnes tres radices sint rationales, ob g z±zy{gg — f^) = u±i*y — 3, evidens est esse debere 

 y{gg — f^) = i^y—3, ideoque 1^ = 1 ~ ^^ "*" ' et f^ — gg = 3i^u, sive '~^^ = n; unde concludimus, quoties 



— - — fuerit quadratum, etiam omnes tres radices fore rationales. 



ExEMPLUM. Sint radices / . a? == 3 , II.x = 7 et III . x=iO, unde aequatio resultat x^ — 79a;-»-210 = 0, 

 sive a;^=: 79^17 — 210, ubi f=-^ ^t g = — 105, hinc f^ = —^ — et gg =11025, ergo f^ — 99 = — aT~^ 



9 



, l^ -gg 195.564 ^ ^/f^ - gg 442 , ^, 4^2 , ,^. 



consequcnter — ~- = ^. et V- — — ^=— -, unde ut ^^ = -77- el w=— lOo 



U 01 <S U «7 



