Fragmentorum ex Adversartts contimatio. 505 



Hoc idem aulem in genere ita ostenditur: Sint temae radices x = a, x = b^ x= — a— b, ila ut aequatio 



at x^ = {d^ -^ ab -^ b^) X — ab (a -i- b). Ilinc fit .. .^ 



o=*-t-at-»-6* , —aba-t-b) ^, a^ -t-3a^b-i-6a*b^ -t-7a^b^ -*-ea^b*H-9ab^ -t-b* JiT9,0 = 

 f=- 3 etj= , /3= ^^ 



a*b^-t-^a"b^-i-a^b* f^ — g"^ 4a6-+- 12a^6 - 3a^6^ — SGo^fc^ — 3a-6-» -<- 12at» -i-46« 

 et ^ = — ^, ergo ~^= -— -^_ ^,^ 



: t//" - g' _ 2a3 -H 3a^fc - 3a^' - 26^ _ {a - b){2a-*. b)ia-*-"^f ''^''^^ .n = \>i- (^1 if" 



'"^ 3 9.2 18 ' inWiiiqiJbW .**enmM 



Observatio I. Quum p ■— g^ debeat esse triplum quadratum scilicet 3^i^, sive p = gg-^3i^u, certum 

 est hoc fieri non posse, nisi ipse numerus f jam habeat formam similem mm •+- 3nn, unde sequitur, si numerus 

 f in suos factores primos resolvatur, unumquemque fore formae Ga-t-i, cujusmodi numeri primi sunt 7, 13, 

 19, 31, 37, 43, 61, iB7, 73, 79, 97; unde statim ac numerus f factores involverit vel 5, vel 11, vel 17 etc. 

 certum est aequationis omnes radices non esse rationales. i. i.iiim »,nj'iivii' 



Obsehvaxiq II, Sit igitur f numerus huius formae aa-f-3/3/?, et quum sit , ^, . , ,,.• " »„. ^, t ^n 



{aa -f- 3^/?) ijpp -H 3qq) = {ap ± 3(Sqf -+- 3 (ag zjl pp)\ ' , ^ HH v*\# = «m 9&mU 



eri t (aa -4- 3/?/?) * = (oa ± 3/?/?)=^ -+- 3 (a/? qr /?«)^ = (aa — 3/3/5)* -♦- 3 (2a/?)* 



porro (aa -i- 3/?/?)^ = (a^ — 3a/5/3 =t 6a/?/?)* -t- 3 (2aa/3 =p aa/? ± 3/5^)=^ 



ideoque vel (aa-4- 3/3/?)3 = (a^ -«- 3a/?/3)2-f-3 (aa/?-i- 3/?^)* 



vel (aa -h 3/?/?)^ = (a^ — 9a/?^)2 -h 3 (3aa/? — 3/?')^ 



Hinc quum sit f^ =gg-k- 3wv , erit g- = ± (a^ — 9a/?/3) 61^^ = =^ (3aa/? — 3/?^) ; quare si in aequatione 

 x^ = 3fx-i-2g fuerit f=aa-^3p^ atque insuper §-=±(^3 — 9a/?/?), tum omnes Ires radices erunt ratio- 

 nales, et nisi simul fuerit f = aa -1-3^(3 atque g=±{a^ — 9a/?/?), omnes tres radices rationales esse non 

 possunt. 



Obsebvatio III. Sin autem f et jg tales habuerint formas, ut sit o;' = 3 (aa -h 3/?/?) a; -h 2a (aa — 9/?/?), 

 radices certe erunt rationales, quippe quae erunt-a? = 2a, x = — a-i-3/?, et x = — a — 3/?. Hinc igitur ve- 

 ritas nostri criterii ita est stabilita, ut non solum praesentia critgrii tres radices rationales indicet, sed etiam 

 rationalitas radicum ipsum hoc criterium involvat. 



Observatio IV. Videamus autem quoque , quomodo hoc crilerium ad formam generalem aequationum 



cubicarum applicari debeat. Proposita igitur sit forma generalis z^ -i- Pz'^ -t- Qz-i- R = 0; primo ergo ad for- 



1 



mam praecedentem revocetur ponendo z = x ~ P, et aequatio resultans erit 



3 



>1 x'-^{Q--^P^)x-i-^^P^^^PQ^R=0, 



«ve x' = (^^P^-Q^x^^P'-^jPQ-R. 



"11 1 1 i 



unde pro criterio nostro habebimus f= — P^ O et o= — — jP^-4- -;rPQ — tt R, unde fit 



'9 3 27 62 



'^= OS ^^00 - i 0' - i P=« -H 1 i-O» - f, R« 



ergo per 324 multiplicando , criterium nostrum postulat, ut sit quadratum sequens forma 



P^Q^ — ^Q^^iP^R-^iSPQR — ^TR^^^D. 



A. m. T. I. p. 109. 110. 



L. Ealeri Op. posUxuna T. I. g£ 



