506 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



Sit cubica aequalio x^ = fx~\-g omnes radices habens rationales, q«ae sint a, /?, y; quia earum summa 

 = 0, erit y = — cc — j5. Jam sint a, /? radices hujus aequationis zz — 'pz~\-q = {i^ ubi propterea erit 'pp — k-q 

 quadratum, haec ergo per 2-*-p, hoc est 2-+-a-+-/3 mulliplicata, ipsam propositam producere debet, quae ergo 

 fit 2^H-(</ — j)p)£-t-p? = sive z^ = {iif^ q) z^pq-, quocirca erit f=pp — q et g= — pq. Quum igitur 

 g\l pp — !^q = n, quaeritur quomodo eadem haec conditio per f &i g exprimatur, quae est quaestio peculiaris 

 naturae. Mulliplicetur j)j) — 4^ per quadratum p* --^-^appqHraaqq, ita ut etiam productum 



'"?»!'{?♦'> ^MvP-f-^v^ — "^^ p^-i-{2a — k)p*q-i-{aa — Sa)ppqq — \aaq^ = n esse debeat; 



manifestum autem est similem formam nasci ex formula f^-t-^gg-, prodit enim p^ — 3p*q-i-{^ -^^- (3) ppqq — q^= D; 



l 27 



pro identitate igitur litterae a, ^ sequenti modo definiuntur: a= — , /?= ~T~' ^^^ valores etiam postrema 



27 

 membra identica reddunt, ex quo pro rationalitate trium radicum hoc critermm requiritur, ut sit p — —gg = n. 



27 

 De hoc autem criterio duo sunt notanda: l*' f^ — -7-99 debet esse quadratum integrum; 29 hujusmodi aequa- 



tiones ^»^ = i/V -h Sg ad formam simpliciorem ponendo u = 2a: debent reduci x^ = fx-^ g. 



k. m. T. I. p. 113. 115. 



saoiJflupofi, ai ia/jyifii; 



«oa ^J^QBV^W.4A..,Si habeatur haec series 



106. 



(Krafft.) 



i 1 1 1 1 , 



j^.?^(>-.»»Vt)Sh^ * ^-^" *-*-2« i-^3a 1-H^a 



ejus quadratum s^ commode pev seriem exprimere. Erit autem 



iaaijo t>3 2 . 1 _^ 1 1 



^ ~~ (T^^ ^ (1 -t- 2a)2 "*" (l-+-3a)8 "*" ® 



2 2 2 



1.(1 -f-a) (l-»-a)(l-H2a) (l -f- 2a) (1 h- 3a) 



etc (=-2^) 



2 2 2 

 1 .(1 -H 2a) "*" (1 -H a) (1 -I- 3a) "*" (1 -i- 2a) (1 -h Aa) ^ ^^^ {^-^W) 



^ ^ ^ - etc.....(= — 2q 



l.(l-*-3a) (l-t-a)(i-t-4a) (1 -<- 2a) (1 -h 5a) 

 etc. 



11 1 



Erit vero A = \- — — ^. -\- - — ^r-— — -+- etc. 



ItJ mu (1 H- a) (1 -*- 2o) (l-i-2o)(l-*-3a) 



,1/11 1 1 1 1 , N 



sive - A= — [~r — . 1- , , — -H — -+■ etc. j 



a\l 1-+-0 1-Ha l-*-2a 1-H2a l-*-3o / 



1 



ergOi4 = — .1. Similiter 



„1/1 i 1 1 i 1 1 ^, \ 



5 = — ( -* ... -4- i..- .4- . — — — etc. I 



2a\l 1-h2o 1-t-o 1-H30 1h-2o 1-+-4o i-i-3o / 



ergo ^ = 1 (^l -H ^). Eodem modo 



