508 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Amiym. 



» '[ ^ 107. 



(N. Fuss.) 



(''^'' '^ y^ ^ 



Theobema. Proposita serie potestatiim quacunque 



P=\ -^ x"- -V- x^ -{- x^ -\- x^ -\- etc. 



ejusque suraatur potestas exponenlis X, nempe 7*'^, in qua evoluta occurrat terminus \n] x", ejus coefficiens [n] 

 ita pendebit ab aliquibus praecedentium, ut sit orviiivjr, 



w [n] = _(„_«) [n - a] _ ^^^^^ [n - /3] _ („ _1 ^) [n — 7] _ ^^^^ 



quae expressio eousque esl continuanda, quamdiu numeri n — a, n— /?, n — j/, etc. non fiunt negativi. 



Demonstbatio, Ponatur P^ = S, erit IS = XIP et --=:—-) hincque PdS = XSdP , quae aequalitas ita 



xdS xdP R 



repraesentetur P . ~— = aS . — • Cum iffitur sit P = 1 -i~ x'^ -\- xP -{- x^ -i- etc. erit 

 ^ dx dx ^ 



^-^ = ax--\-px^-\r-Yxy-\-dx'.^ etc. " '^"^^^*^ 



Jam in serie 5 occurrat terminus [n] x^, praeter quem considerentur eae potestates, quae per — multiplicatae 

 producere possunt potestatem a^", qui fermini ita repraesententur >' 



S= [n]a;"[n — a]a;"-«[n — /5]a;''-/ etc . 



c 



Hinc ergo erit ~ — r— .aia — "^wL. . 



; , iiowoan. ^^ ^ — ^" ^^ ~ "] ^" "*" ^^ t'' ~ ^^ ^" "*~ ^^ f "" ■" ^^ ^" "^ ^^"^- . .osio ' 



Deinde cum ex iisdem terminis sit 



^ = n[n]a!"-f-{n-a)[n-a]a;"-«-i-(n-/?)[nrr./?]a;''~^-+- etc. 

 quae in P ducla, pro poteslate x" praebet sequentes termmos 



n [n] x" -+- (n — a) [n — a] a;"-»- (n — /?) [n — /3] a;" -t- (n — y) [n — y] a;" -h- etd. ••* ' 



Hi igitur termini a;" utrinque debent poni_ aequales , unde erit 



n [w] -h-{n — a) [n — a] -t- (n — /3) [n — /3] -i- (n — y) [n — y] -i- etc. = 



Aa [n — a] -i-' A/? [n — /3] -t- Ay [n — y] -4- A5 [n — 5]-*- etc. 



, p ., ; ::L=-i;=~- ujHu) msbni.j fibno 



unde coniicitur ;,* Ot 



nln] = _ ^^'L ^) [n -. a] _-J; ^^.^^ [n - /3] _"J f! ^^ [n - Y^l etc*. Q- . ^^- !>• mtpnsbR 



CoBOLLABiuM. Cum iu serie P exponentes ipsius x sint 0, a, /?, y, d, etc, in serie S = P^ a\mk pote«(taiM 

 non occurrunt, nisi quarum exponentes sunt summa X terminorum hujus seriei 0, a, /3, y, 8, etc. unde si in hac 

 serie S omnes plane potestates ipsius x ocqurrant, id erit indicio omnes plane numeros reduci posse ad sum- 

 niam A terminorum istius seriei 0, a, /3, y, ^, etc. At si quaepiam potestas a;'* non occurrat, tum ejus coeffi- 

 ciens [n] aequabitur nihilo. Manifestum autem est, nullum coefficienfem fieri posse negativura;ii'j niijbnono- 



.'^±- A. m. T. I. p. 335. 336. 



.m - m A •' -T •ffli -4 



