514. L. EULERI OPERA POSTHUMA. CaU. integr. 



ly.! Calculusintegralis. 

 109. 



.0— .')h 



^T " (J. A.. Euler.) 



Si ponatur y = -=- > erit 1 — yu— — — — ^/t^— ^ ) idocjque 



'^ ^ ap-+-bq ^^ (ap-t-b^^ ^ 



ydaa - 66) {pp - gg) ^ y _ ^^ ^^ _ {aa ^ hb) { pd q - qjp) ^ 



ap-+-bq ^ ^^' ^ {ap-t-bqY^ 



xj« r» % ipdq — q(lp)V[aa - bb) . . , -. 



Hinc fit 7-7-^^ — - = ^^-^ — ^ . ^, erffo • f ? f f 



v(i — yj/) («p -^ H) yipp -^ m) ■ -■■ ■, ?- , . - ^ - v. - ^ - - 



, /ripiq ~ ¥pi •/(«« — vb) __ ^yp ^^^ j>p -*• aq ^ 



O^ •' {ap -^ 6?) ifCPl» — qq) ap-Hfcfj' 



I. Sit »==1 et q = x, erit /- : . , ■ vT — Mr=:Arc. sin — 



■^ , J{" -+- M >^(i — *^) « 



ii'i') o: 



bx '■ V 



II. Sit p = 1 -I- ira; et q = xY2, erit pt/^ — qdp = (1 — oar) (/a;"]/2 et pp — qq = 1-4- a;*, unde fiet 



^(a(l 



dx (1 — xa;) "/2 (aa — 66) . . 6 (1 h- xx) -*- axV^i 



Arc. sin 



ara?) -H 6a;l/-2) /(1 -t' a?*) ' a (1 H-a;x) -•- 6a;/2 : ; 



,A. m. a. r. p. 238. 



/ . i } I \ i 



V Si- %i '-ii iio. 



^.•)lo *— y-^^ -*- ip-j -i- ,Yj — • -^- — , ; (I, A. Euler.) , 



f'.;, S^ecinv^n jmeljiodi facili^ Analysin infinitorum indeterminalam tractandi. 



1. Sit proposilum problema de invjeniendis curvis algebraicis, quae sint rectificabiles. 



Sint coordinatae bujusmodi curvarum x «t y, quae ergo quantilates algebraicae esse debent, eritque avcuB 

 curvae z=J^y [dx'^ -i- dy^) , qui etiam quantita« algebraica esse debet, quae sit = s, atque habebilur 

 -9l\ih o!n!r«!f ir;!-'nhi/fb ^'itiRq y [dw^*^ dy^ = ds sive dx'^ ^ dy- = ds^. i"jii< 'i9^ .oiTif njfLnO 



o'ia (& ^ottjitiir «Fgo <?*=<fecos9 et «^ = t/s sin 9) , ubi sin ^ et cos 9 algebraice exprimi debent. Ponalur 

 X = s cos (p -i- f> et y = 8sm(p-+-q, atque ut hinc fiat tfa? = rfs cos 9) et dy = dssm(p, non obstante variabililate 

 quantitatum p, q et 9, necesse est tit sit ^sd<f>8inxp-+dp=^i) et irf^ cos 93 ^ rf^f =0^,' tinde palebit, qnomodo 



hae quanlitates a se invicem pendera debeBt. Habebirauii ergo s=^-: — t— — > quae posterior aequahtas 



V < . "yui 9^ ' ^93 cos 9) 



praebet rfp cos 9) = — rf^' sin 9 , hincque tang 9 = — — - • _ 



i'Jl9t(jtj O '. ..'! ■ ii:; i ! ';,!;'. ■' .';■; •,..,-•— " ". - ■ '"'" * "^' '''•■'•"' '■ ^ ' '' ' '' ' .' 



s. Sumta ergo inter quantitates p et q Telatione quicunque algebraica, ila ut sit vel q fnnctio ipsius p, 



d d ' ' ^ 



vel p functio ipsius q, erit etiam — quantitas algebraica: capi ergo debet i^n^ cp=. , nnfie tam sin cp quam 



■';.:))3 -- v-j- -I- ;. - * --^ .'.)'.; (^^5- h ',;^-- -; v.\ ■■ *^ V 1? '' :: ''-'''■ 



coscp definitUr, lum yero^accipi debet «=, — : — =r — —t idepque etiam s erit quantilas algebraica, uti re- 



/ ' l I i ^d<pna<p d.1508 9» ,n , .T ^, .?. • ° 



quiritur. \ '* ' ^j^ - ^r- / - -' -;. 



4. Invento autem i habebimus !pro curva quaesita' a7 = s cos 9 -Hp «t y:=ssm(p^q. Sicque ex aequa- 

 tione algebraica quacunqtie intet* p ei q pro lubitu assutnta semp^r curva algebraica^^reclificabilis deduci potest. 



(Lexell.) n :- g 



•^OS, At si curvia desideretur algebraica, cujus rectificatio a data quadratura pcndeat, sohitio ita institui 

 poterit: 



ci) '• . - ■' '■ ^'■■"- •'•'•" '"' ' 



