Fragmenlorum ex Adversariis conlimalio. 515 



Ponatur «fcr* -f- rfy* = rf«*, ita ut jam s non debeat es«e quantitas algebraiea, ac statuatur dy=zndx, eritque 



di == dxy^X -4- nn.), inlegralia vero staluantur y = nar -4-p et 8 = xV^l -^nn) ■+■ q, atque habebimus xdn -i-dpz=Q) 



nxdn j /v j /.» ''P dqV{l-*-nn) /(1 -4_„n) dp ... ,. 



el -777 c -f- rfa = , unde fit ar = — f- = = ;; 1 hincque porro — ^ = -f- , ergo obtmebimus 



V(l -*-nn) ^ dn ndn ^ ^ n dj " 



n = ^.j, . 2v et V(^ -*-****) = .,/ .^ . a\ * ^"® valore ipsius n inventp pro curva quaesita colligimus -^^ 



'V, «if. _ dp ndp pdn — ndp "'^ «^i dpy (l-i-««i* — — : — — - = td aoo 



a?= — —, y=na7Hh» = — Hi)= — el « = :; l->mi"! 



dn ^ '^ dfi ^ dn dn . ^ . , , 



6. Hic ergo q non debet esse quantitas algebraica, sed tameu ejusraodi, ut quantitas — fiat quantitas al- 

 gebraica. Ad hoc praestandum sil J"Pdp quadratura illa, a qua rectificatio pendere debet, ita ut summa Pdp 

 non sit quantitas algebraica, ac ponatur q=JPdp, unde tamen fiet -^ = P, hinc autem fit n = -7- et 



'Y {l -\- nn) = -^ — - ; et nunc curva quaesita his formulis definilur 



: : mciJa wiaio^q 



dp(l— PP)'*' PdpH — PP) umftofaiY 



^ = -f^ — 9 y = -- — ^ — -^p 



quae sunt quantitates algebraicae; at vero arcus curvae prodit 



dp (1 — pp} 





dP 



/Pdp. 



7. Haec solutio adhuc generalior reddi polest; sumta enim pro T functione quacunque algebraica ipsius 

 p, si capialur q~T-\-fPdp, tum — ac propterea etiam n fiet quantitas algebraica, ac proinde etiam x et y, 



at vero pro arcu habebitur s = — ^^^^*^""^ -h T -v-fPdp. ^i = ^^' ^-^^ = r^ 



8. At solutio adhuc generalior reddi potest, si pro ^^ accipiatur functio quaecunque algebraica ipsius p; 

 tum vero Y ejusmodi functionem algebraicam ipsius v denotet, ut fVdv quadraturam praescriptam involvat; 

 problemati enim satisfiet ponendo q ■==■ T-\-fYdv. 



9. Si insuper haec conditio adjiciatur, ut non obstante, quod curva non sit rectificabilis , tamen unum, 

 vel duos, vel tres, vel quotcunque volueris habeat arcus absolute reclificabiles. Hic scilicet totum negotium 

 huc redit, ut in postrema solutione fYds^ certis casibus evanescat, seu exhiberi debet ejusmodi curva alge- 

 braica, cujus area in genere &\\.fYdv, quae tamen certis casibus evanescat. 



10. Quadratura proposita est area certae abscissae respondens, ac pro abscissa =z designelur area per 

 H: js, ita ut sit JI',z=zfZdz siquidem Z applicalam denotet. Aream autem ita definiri ponamus, ut sit il:0 = 0. 

 Quodsi jam area desideretur, quae casibus p = a, p=/?, p=y evanescat, tantum capiatur Z={p — a) (p — p) [p — y), 

 quocirca in solutione superiori poslrema suroatur i^ = {p-^a){p — /?) (p — y) etc. vel generalius 



t^ = (j) — «) (p — /?) (p — )/) elc. P; 



tum enim sumta pro Y tali funclione ipsius v, ut proposila quadratura obtinealur, tum curva ibi descripta ab- 

 solute erit reclificabilis Casibus p — a,p-— ^,p "^fi 6ic. 



His exposilis aggrediamur simili ralione problema nostrum principale, quo debet ^&s^ dx^sm^y -^ dy^ = dr^, 

 ubi litterae x,y et r sunt arcus circulares, quorum sinus cosinusve demum fiunt quantitates algebraicae. Nunc 

 autem analysis nostra ordinem retrogradum teneat. Incipiamus igilur a positione dxsin y=dr sin a et dy=dr cos O; 

 quia autem non y, sed siny vel cos y debet esse quanlitas algebraica, posleriorem aequationem ita referamus: 

 rfy sin y = rfr cos 0) sin y , et integrale debet n&ae algebraicum. Quod ut fieri possit statuamus 



cos6)siny=|)cosr-H jsinr, '-- u^u :.iiUfi'J8}Jai cj,iy uoMp 



