5lg L. EULERI OPERA POSTHLMA. . caic. integr. 



Cum vero cot | = w col r — < = -Y^ _pp_qq) ' ent 

 unde denique fit 



(1 — qq) (1 — pp-i- 'ipq COt r -+- (i — qq) cot^r) 



rf9)= P'^ 



Ubi commode usu venit, ut solum differentiale dq hic insit, alterum vero djp una cum tangente r ex calculo 

 excesserit; hanc ob rem non p per 5 ita deGniamus, ut haec formula ad arcum circuli reducatur, sed potius 

 relationem inter quantitates q et sin 9 tanquam cognitam spectemus, quam adeo pro lubitu assumere licebit; 

 tum iffilur — erit quantitas algebraica et vocetur — = s, atque ex aequatione s=z ~ —7-^ deter- 



^"" o d^ ^ " dq ^ ^ (1 — qq) V (l — pp — qq) 



minemus quantitatem p; quia enim VH — pp — qq) = jjrzi — ) ^"* * ~"Pi' — ^^~ m(1^ — f' ""^® reperiri 



polest p et sequens solutio completa concluditur: ;;l9udofli(( oiJffiS' 



'v-w^^j^' Constituta relatione quacunque algebraica inter sin 9) et q, positoque — :=s, quaeratur quantitas p 



'aria (Orsb^^lHJftnou a/i« »o'i'>>iiiadir?i •jijp'! ^ ; -inUi/pna '>i)mf joiodoh oiovloyai n( 



2 Inventa nac quantitate p sumatur tangr=c— > atque hinc porro 

 90e — t . ^ dp ^ ^ 



l — qq pq 



3. Deinde quaeratur arcus y, ut sit cosy^^ycosr — p sin r. 



4. Hinc porro angulus |, ut sit cot ^ = «^cot r — f, quo angulo invento hahebimus xz=^-^^, sicque 

 problema expedite est solutum. ', , ,/ 



NB. Hic autem etiamnunc desideratur criterium , ex quo pateat irt formula d(p = {du cot r — d() sin*| qttan- 

 titatem cotr ex calculo tolli; in hoc ipso enim vis methodi consistit, ut r ex calculo excedat, proplerea quod 

 tangr per dp et dq delerminatur. Ad hoc ergo criterium, ob ji^ nj!; 



s\irt = — 



■ ' l-t- tt - 2fM cot r -I- uu cot^r 



requiritur, ut ostendatur ex expressiofle '- 



, du cet r — dt 



df . 



uu col^r — 2rM cdt r -♦- 1 



omiiino tolli cotr, propterea quod sit tangr = --; hinc enim etiam ratio differentialium dt et du quantilalem 

 cotr involvet, sed quomodo? Supra invenimus mV(1 — pp — qq) = i —qq^ (^-»-'0 (t-^pp — ??) = (! — w) (^ —iq)i 



s ny,. v ,t ,1-4-«* tt(l— PP) {i -*- tt) {i — qq) . . (!-*-«) (!—(??) 



(1 -f- «) V ( 1 - 2>p - g?) = M ( 1 - pp) , -^ = -YZr^ ' ^ irn =l—pp,pp = i ;^ ' 



i -t- tt — qq (l -i- tt -i- uu) , ,, ^ . r^ . , , . j 



\ — pp — qq= ^^ ' 1 H-« — 95 (1 ^- «-♦-««)= 1 — 2qq-t-q*, unde pro determinando q 



haberetur haec aequatio ■,," ti- 1 



^ ' q* — qq [l -^ tt — uu) = tt 



Unde patet praestare loco t et u valores per p et j Jntroducere, uti fecimus, ubi ob dp=dqcotr statim se 

 prodidit crilerium quiae«itum. 



Notatu etiam dignum est , quod prodeat rf^) = - — - — — - > ubi jam neque p neque u inest , ita ut ex re^ 



latione ;r^=« habeatur t = — sq[\ —qq). 



g (1 — qq) 



A. m. T. I. p. 37 - 41. 



