Litterae ad N> Bemoullium datae, 523 



praeter hos factores indicatos, alios factores in se complecteretur, id quod in serie pro ellipsi mihi usu venire 

 videtur, tum hoc ratiocinio nullae verae summationes obtineri possent. Quamobrem nulli dubio locus super- 

 e6SQ mihi videbatur, si demonstraretur expressionem 



esse productum ex his factoribus 



'(»-.^)('-a('-s-^) •'- 



Demonstrationem autem hanc tandemita sum adeplus, ut ostenderim hanc expressionem 



qua cosinus arcus s exhiberi solet, ess& productum ex his factoribus 



,(,_il') (,_iii\(,_4iL.) etc. 

 natum. Cum enim sit 



atque generatim hujus binomii: a^-^b" omnes factores sint contenti in _ 



'2k 1 



aa — 2ab cos A :rr -+- fti 



n 



siquidem pro k omnes numeri integri substituantur: fiat 



a = lH et b = l , erit aa-*-bb = 2 • et 2ai = 2-H— , 



n n nn nn 



hincque factor generalis formae 



. ss s* *^ . , •* ^ »« /* **\ .2*—! 



1 a-^^TTz — ^-♦~ etc. ent 1 In — lcosA tt, 



2 24 720 nn \ nn/ n 



seu ad formam 1 — pss, cujusmodi omnes factores tsse debent, reducto, erit 



1 



1 -HCOSX TV 



nn\ ^ i 2* — 1 / 



1 — C0S4 TT / 



n / 



factor generalis illius expressionis , posito n = oo. Quia vero est n = oo, erit arcus n infinite parvus, et 



idclrco 



1— cos^ 7t = ^- — -—!- et l-i-cos^ -n = 2i 



n 2nn n 



unde factor ille generalis fiet 1 — — — —= — . Quamobrem loco k subslituendo successive omnes numeros in- 



\tK — 1) nn 



tegros fiet 



4 *' ** *• » /m **'\ /m 4*»\ /m 4** \ 



'-s-^a-Tio-^ «"=• =(»-;;i) (i-9i;i)('-§w) «'<=• 



ideoque — = summae terminorum 



nn 9nn l^nn 



4 



1 etc; 



a^— summae factorum ex binis his terminis; — - = summae faclorum ei ternis, etc. unde summae potestatum 

 cujusvis exponentis integri eorundem terminorum, seu seriei 



