524 JL EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. 



poterunt exhiberi. Possum itaque summas harum omnium serierum 



111 

 1 -i-r7r-»-_-7;-F-=7;-i- etc 



ac proinde etiam harum 



/ 1 -»- ^ -i- ;^ H- v^ -I- etc. 



invenire, si quidem n sit numerus par. Sin autem n fuerit numerus impar, nunquam aflirmavi me series has 

 ad summas revocasse, quod ideo moneo, quoniam vidiTe, Vir Amplissime, in ea versari opinione, quasi eliam 

 summas hujus seriei, si n sit numerus impar, assignare me posse pulem. Hocque ipso dubium, quod circa al- 

 teram meam methodum allulisti, sponte evanescet. Praebet enim haec methodus utique pro omnibus potesta- 

 tibus summas, at si exponentes fuerint impares, tum numeri tantum impares in denominatores ingrediuntur, at- 

 que signa alternatim sunt affirmativa et negativa. Scilicet omnes series, quas hoc modo summavi, in hac forma 

 generali : 



. ^-^(-3-)"-^.(-^-f)"-*-(-t)"-*-(-*-?)"-^(-it)"-*- ""=■ . 



continentur. Seriem ergo 



.111 1 , 



l-*-2^ + 33-*-43-^53-*- etc. 



adhuc ad summam revocare non potui, etiamsi jam pridem in hoc negotio elaboraverim ; tantum quidem mihi 

 constat ejus summam per tv^ exhiberi non posse, et suspicor fere /2 ejusve potestatem insuper ingredi. Multum 

 quoque in hpc sum versatus, an summam seriei 



r^" ■ ly*^ o^O '*•'* /»»5 



' %JUw *Mj *JU vU . 



4 9 16 2a 



1 . . 



ahis casibus praeter a; = =tl eruere possem: unicum vero quo x-=— adhuc sum nactus, invenique G&&e 



m 



.111 11 11 11 . 7tn \ ,,^.2 



^'2-*- 4- 4-^^* 8 -^16-16-^25 -32^ '^*^- ^IS-T^'^^- 



Maxime autem sum admiratus operationes Tuas, per quas integrale formulae 



oc^i 



dx 



cum in genere tum casu x = \, invenisti, quas sane difnciUime comprehendere potuissem, nisi ipse tantopere 



m hac investigatione elaborassem. Si integranda sit formula differentialis —dx^ in qua iHf et iV funcliones quas- 



M 



cunque ipsius x rationales denotent, praecipuum quaestionis capiit in eo versatur, ut fractio — in ejusmodi 



simpliciores resolvatur, quarum denominatores sint binomiales formae a-i-(3x, numeratores vero constantes. 

 Quam resolutionem ita instituo: Sit p-t-qx factor denominatoris iV, nempe N = [p -t- qx) S ; sitque par« fractio- 

 nis — ex hoc factore orta == j et pars allera reliqua = — > 



JS p -i- qx ^ ' ^ S 



.^ P M A M (p -t- qx) — AIS M—AS ., „ M — AS 



ent — =— = — -^^ — = TT, ;» ideoque P= • 



iS N p-h- qx N{p -t- qx) S (p -t- qx) * p-i-qx 



Quare cum P sit quantitas integra, erit M- — .45 divisibilis per p-i- qx. Posito ergo 



« . P /. nr ir: ^ -1 . M M(p-t-qx) 

 nrrtr^^-^fnr p-i-qx=:0 seu x= » fiet M — ^15 = 0, ideoque ^4 = — = • 



" " ■ q S N 



Hujus autem fractionis, facto x = , tam numerator quam denominator evanescet, ex quo erit 



