Sit igitur 



Litlerae ad N. BernouUium datae. 525 



i (P "*- Q^) ^M -»- qMdx 

 ^ = dN 



N~~ i±aff ' 



et denominator habeat factorem 1 -h tur, qui praebeat fractionem integrantem > erit 



^ = dT ' 



posito x = — — '■> ideoque erit 



diy ~ z±2qx9—^ ~~ q V a' ~~ ^ a^ )' 



Hoc igitur modo inventis pro singulis fractionibus integrantibus numeratoribus , integralis partes clicui, quae 

 cum essent imaginariae , binis colligendis ad quadraturam circuli sum deductus. Videtur autem mihi omnis 

 aequatio algebraica non solum radicum imaginariarum numerum parem habere, sed etiam has ipsas radices ita 

 comparatas, iit binae in se mulliplicatae produclum reale praebeant, quae proprietas mihi quidem verissima 

 videtur, etiamsi eam generaliter demonstrare non valeam. Theorema nempe ita se habet: Ut omnis expressio 

 algebraica a ~t~ ^x -t- yx'^ ~t~ dx^ -t- etc. quotcunque fuerit dimensionum , si non in factores simplices p-t-qx 

 omnes reales resolvi queat, ea sallem in factores trinomiales p -i- qx -t- rxx , qui omnes sint reales, semper 

 resolubilis existat. 



Probe autem agnosco, si aliunde demonstrari posset, esse 



sinA.7Vz = 7tz{l—zz)(l——zz\ (i — q ^-^^) etc. 



» lum tanto apparatu integrationum non esse opus ad serierum memoratarum summas investigandas, sed eas ira- 



f mediate ex hac formula deduci posse. Inveni quidem jam pridem hanc ipsam expressionem pro sin A . nz; at 



\, hoc ipsum ex summis illarum serierum jam cognilis concluseram: averem igitur methodum videre, qua ista pro 



t sinu expressio independenter a seriebus his possit inveniri, quam ut mecum benevole communicare velis etiam 



\. atque eliam rogo. Usus autem sum his expressionibus 



7 sin A . Ttz z= jTz {l — zz) (l — x '^'^) (^ 0" '^^) ®*^* 



et cos >1 . ;r^ = /1 zzj (i — — zzj (1—9= ^z) etc. 



ad logarithmos sinuum et cosinuum commode exhibendos, ipsis sinibus etiam incognitis. Dum autem haec scribo, 

 video totum negotium huc reduci, ut demonstretur esse 



(1 — x)"' BinA.tiTt 



fii post integrationem ponatur x=i, id quod mihi demonstratu facilius videtur. Inveni enim complures non 

 inelegantes formularum differentialium, quae alias inter se comparari non possunt, relationes casu quo post in^ 

 ' tegrationem ponitur x=i. Sic productum harum duarum formularum 



r x^f— ^dx rx^^f-^S—Xdx 



JV^S-x^-e) ®' i /(1 - x-^S) 



fii in utraque ponatur a: = 1 , erit = — : hinc pro curva elastica erit productum 



f* dx r Xi 



■/(l - X*) ' JV{\ 



1 Simili modo hoc theorema latius patens 



/dx r xxdx rc 



Va - x^) ' Jvii—x*) ~ T 



