526 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Varia. 



7(1 _a;^)i— ^» * y (1 _ a;^)i — « J (l_a!^)i — « * / (i _ a;&)i— w 



semper locum habet, si post integralionem ponatur a;=i, quicunque numeri loco a, i, w, n, substituantur. 



Cum ante aliquot annos considerassem modum ex secantibus arcum circuli vero proxime investiwandi, incidi 

 forte in expressionem, quae circumferentiam circuli tv, cujus diameter =1, proxime praebeat, neque tamen, 

 id quod magnopere mirum videbatur, absolute erat vera. Denotet a numerum pro arbitrio assumtum integrum, 



ac ponatur 



2a 4a 4a Aa Aa 



-4- 



aa aa-+-\ aa-i-A aa -+- 9 aa-^(a — 1)* 



dico fore proxime 



_ _ ___j 35 1 43867 1 



^~~*'^"*-"" "*"'"" "^*^ - '24.5. 11. aio 2 *26.7.15.ai4-+- 43 * 2«. 9.19.0^8 



76977927 1 __ 



210.11 23.^2*"*" 2 *2**.13.27.a26 ^*^' 



neque enim, etiamsi haec series in infinitum continuetur, ad veritatem pervenitur; sed tamen, quo major acci- 



pilur numerus a, eo propius valor ipsius tv reperitur. Caeterum fractiones illae, quae irregulares videntur: 



4 15 



_i- , — , — , est. sunt alternae ex hac fractionum serie 

 2 6 6 



* L 1 ^ L ^^ ^ ?£L^ ^'^^^^ *^22277 854513 1181820455 76977927 

 "2' 6' 6 ' 10' 6' 210' 2 ' 30 ' 42 ' 110 ' 6 ' 546 ' 2 ' ^**^*' 



cujus seriei usum mullifariam sum expertus in summalione serierum. 

 Ex his autem fractionibus formari possunt summae seriei 



.111 



* -1- 2« -*- 3^ -»- 4H -I- etc, 



si n fuerit numerus par quicunque. Hae namque summae ita progrediuntur 



111. 1 2i;r2 .111 . 1 ^•^„4. 



^-^Y^-^^^-^T^'^ "^^- =yi:¥l' ^-^^^-^zi-^A^^ ^*^- =T' i.2.3.4.5 ' 



111 , 1 2*7^6 ^ 1 1 1 ^ 3 2V« 



l-H26-+-p + 46-^ etc. =:-.^-^-_y, i-^._ + _-^_^_H etc. =-.-^-_^. 



Ope harum ergo fractionum summae istae ad potestalem 26 continuari possunt, atque ulterius continuari possent, 

 si haec fractionum series magis produceretur. Legem autem progressionis harum fractionum non nimis diflici- 

 lem inveni. , 



Deinde etiam hae fractiones occurrunt in expressione generali, qua summam cujusque seriei ex termino 

 generali assignari docui. Sit enim series quaecunque proposita 



yl-»-5-HC-+-Z)-H -f-l=S 



seriei scilicet, cujus terminus indici x respondens est =X, summa erit 



Q—rY^ 1t ± rfx 1 d^ic 1 d^x 3 d^r ^_5 d^x 



b—JAdX-^^ A-H 2 -i.s.^.da; 6 ' i-^i.S.A.^dx^ 6 ■l.2...7da;5 10 * 1.2. . .9rf«' "*" 6 * 1.2. . .llete»"" ®^*^' 

 Dum autem hic de lege progressionum sermo est, non possum quin Te, Vir Excellentissime , consulam super 

 serie quadam, quae in natura concinnam progressionis legem observare videtur, inlerim tamen ab aliis serie- 

 bus adhuc tractatis plurimum abhorret: 



l-i-ln-f-2»*-4-3n3-*-5n*-+-7n'^-*-lln«-+-15n'-4-22n8-+ SOn» -1- 42n^o -t- 56n" -t- etc. 

 cujus quilibet coefficiens indicat, quot variis modis exponens ipsius n per additionem produci possit. Sic coef- 

 ficiens ipsius n' est 7, quia 5 septem diversis modis per additionem resultare potest, nempe 



