Lilterae ad N. BemouUtum datae. 529 



,3 ,% 



aequalis sit producto 



,U—!t) (l--f^) etc. 



jamdudum mihi constitit, ejusque demonstrationem habui cum innixam theorcmati Cotesiano, tum secus; sed 

 ita tamen, ut ipsa demonslratio mea hujus theorematis veritatem evinceret. Rogare ilaque Te volui, Vir Cele- 

 berrime, annon magis populareni atque ex solis calculi integralis principiis petitam habeas demonstrationem? 

 video autem Te simili modo hanc transformationem ex factoribus binomii 



((-'-^V-C-^)>2y_. 



elicere, sine subsidio theorematis Cotesiani, quo ego sum nsus idem subsidium vitans. Habeo enim metho- 

 dum universalem factores trinomiales, seu duarum dimensionum ex qualibet expressione proposita eliciendi, quae 

 simili fere negotio absolvitur, quo vulgo aequationes algebraicae tractari sulent. Sit quantitas 



A-^Bx ~\~ Cx^ -*- Dx^ -H elc. 



cujus quaeritur divisor trinomialis , quem quia potissimum ad ejusmodi divisores respicio, qui divisores simplices 

 imaginarios involvant, pono f—2xYfg.cos^-i-gxx, quo nihilo aequali posito, si brevitatis ergo fiat 



J? = ']/~' fit a; = acos9) ± -r^— sin^), x^ = a^ cos2<p± -r^.s\n2(p, a;' = a' cos 3^ ± -7 — -sm3q>, 



et generaliter 



x' = a cos n(p ± -^ sm n(p. 



Quodsi ergo hi valores ambigui in quantitate proposita substituantur, ea evanescere debebit: fiet ergo ob signo- 

 rum ambiguitatem tam = u4-t- J?a cos 9-4- Ca*^ cos 2 9 -f- etc. , quam = .Pasin^ -i-Ca^^sin^^)-!- etc, ex 

 quibus duabus aequationibus saepe satis expedile coeCTiciens a et angulus <p definiri possunt, ita ut omnes di- 

 visores trinomiales innotescant. Sit v. g. proposita haec quantitas a" -4- 0;", cujus factor trinomialis assumatur 

 f — ^xVfg . cos (p H- gxx, seu aa — 2ax cos (p -+- xx. Habebuntur ergo hae duae aequationes = a" -i- a" cos n(p 

 et = a"sinn93, seu sin »190 = 0, unde erit nq) = 2i7r vel nf=:{2i — 1)^, denotante rv arcum 180**. Priori 

 casu fit cosn<p = -i-i, posteriori cosrJ9P = — 1; ex quo prior aequatio fit = ^" — a", 



ideoque xc = a et 9> = » 



quamobrem formulae a"-i-a:" divisor erit 



o (2«-l);r 



aa — 2ax cos H xx, 



n 



sumendo pro i numerum integrum quemcunque. Cum Tibi ante scripsissem, Vir Celeberrime, omnem expres- 

 sionem algebraicam quotcunque dimensionum, .si in factores simplices reales resolvi nequeat, eam saltem sem- 

 per in factores trinomiales a-k- ^x -\-yxx reales resolubilem, esse, expresse addidi me perfecle demonstrationis 

 compotem non essQ, sed tamen de hac propositione tam certum essB, ut de ejus veritate non dubitem. Demon- 

 strationem tamen habeo rigorosam, si summa polestas quaternarium non excedat, quare cum excmplum quan- 

 titatis X* — Kx^ -\-2xx-\-J^x -\-k- huc pertineat, a priori certus eram, eam in duos factores quadraticos csse 

 resolubilem, quos etiam ex radicibus aequationis x* — 4a:^ -i-2a?a7H- 4ar-i-4 = 0, quae sunt 



/.a:=l-4-y(2-*-y— 3), //.x= 1 - V (2-t-y — 3), ///.x = l-i-V(2-V-3), 



/F.a?=l- V(2 — y-3) 



L. Ea leri Op. postboma T. I. gy 



