530 ' L. EULERl OPERA POSTHUMA. Varia. 



elicui. Sunt enim / et ///, itemque // et IV ita comparalae, ut earum tam summa quam produclum fiat reale. 

 Nam est 



/-^///=2-i-y(2-*-y-3)-*-V(2 — y- 3) = 2-1- y (4-1-2^7), 



et /. ///=i-4-y('n-2y7)-*-y7; 



sicque expressio x* — h-x^ -t-2a:x-i-k-x -^ h- hos habet factores reales 



a-x — (2 -t- y (4 -f- 2 y 7)) ar H- 1 -1- y 7 -t- y (4 -*- 2y7) 

 et ira; — (2 — y (4 -H 2^7)) iCH-l-i-y 7 — 1/(4-1-2^7). 



Si ergo similis resolutio perpetuo succedat, certum quoque forel, qood aiTirmavi, omnem formulam differentia- 



31dx 

 \em ralionalem — concessa circuli et hyperbolae quadratura integrari posse. Cum igitur illud theorema, quod 



circa resolutionem cnjusque expressionis algebraicae ralionalis in faclores trinomiales reales proposueram, tanti 

 sit momenli, magnopere Te rogo, ut nonnihil temporis in id impendere velis, vel ejus verilatem evicturus, vel 

 falsitatem ostensurus. A Malhemalicis Galli^ ante aliquot annos celebratum est theorema analyticum, quod ab 

 auctore raox Bouguerianum mox Fonlanianum appellabatur. Declarabalur autem in eo singularis proprietas for- 

 mularum differenlialium duas variabiles continenlium, quae quideni sint ortae per differentiationem alicujus quan- 

 tilatis finitae, at theorema quidem variis modis proponi polest; sic autem enunciabo: Si ex differentialione quan- 

 titatis finitae, seu iunctionis ipsarum x et y, prodierit Pdx-t-Qdy, erit semper differentiale ipsius Pdx, posila 

 sola y variabili, aequale ditrerentiali ipsius Qdy, posita sola x variabili. Cum igitur de inventione hujus theo- 

 rematis utilissimi inter se certarent, nieque de eo cerliorem facerent, slalim quidem respondebam, hoc theo- 

 rema jam pridem mihi notum fuisse, cum id jam in Tomo Comment. VII inler alia inseruissem, gloriam inven- 

 tionis tamen non mihi, sed Tibi, Vir Amplissime, deberi. Memineram enim, Te olim, cum de trajectoriis ortho- 

 gonalibus disceptaretur, verum hujus theorematis fundamenlum exhibuisse. Cum enim quaestio esset de diffe- 

 rentiali ipsiusJ^Pdx, si praeter a* etiam a (tanquam parameter) yariabilis ponatur, Tu demonslrasti differentiale 

 quaesitum fore Pdx -\- daJRdx , existente Rda differentiali ipsius P sumto ar constanti, quod jam est id ipsum 

 theorema, de cujus inventione Domini Bouguer et La Fontaine inler se certabant, aliis tantum verbis ex- 

 pressum. Posito emm JRdx=^Q, ut differentiale quaesitum sit Pdx-i-Qda, erit differentiale ipsius /*<te (posito 

 a variabili tantum) —Rdadx, et differentiale ipsius Qda (posito x variabili tantum) erit =Rdadx, quoque ob 

 Qz=JRdx. Consequuntur autem ex hoc theoremate, quod Tibi acceptum est referendum, plurima insignia sub- 

 sidia in calculo integrali, quae Ipse vel jam nosti vel facile prospicies. 



Plurimum autem me delectarunt, quae de partitione numerorum (sic enim appellabat hoc problema Clar, 

 Naudaeus, qui id mihi primum jam Pelropoli proposuerat) mecum communicare voluisti. Per solutionem enim 

 hujus problematis deductus sum ad seriem 1 -i- In-i- 2n--*- 3n^ -i-5w*-i- etc, cujus occasione mihi tam prae- 

 clara et profunda perscribis. Problema autem mihi geminum proponebatur: I. Invenire quot variis modis datus 

 numerus iV in n partes inter se inaequales disperliri possit; vel quot variis modis datus numerus N possit esse 

 summa n numerorum inaequalium inter se. Sic numerus 50 dispertiri potest in 7 partes inaequales inter se 522 

 modis diversis. Alterum problema ila se babebat: II. Invenire quot variis modis datus numerus N dispertiri 

 possit in n partes, non exclusis partibus aequalibus. Sic numerus 50 in septem parles sive aequales inter «e, 

 sive iuaequales distribui potest 8946 modis. Ad solutionem prioris problematis formo expressionem 



(1 -l-«iz) (1 -4- m*^) (l-f-»n'2)(I H-m*5) etc. 



quae per multiplicationem actualem explicata dabit sequcntes series 



