Lilterae ad K BernouUium datae, 531 



-4- 1 -I- mt •^m* z ~\- m' « H- m* « -+- m} z -¥• etc. 



, -*-m' jr*H-m* ;»*-4-2m* ^^-i-2m' «*-+- 3m' z' -f- etc. 



-Hm' jt' -«-m' jr' -i-^m* «'-f- 3m' a' -+- 4m'®«'-f- etc. 



-H m» V -♦- m"z* -*- 2m>*z* -+- 3m» V -i- 5m' V -4- etc. 



etc. 



hic ex nalura genesis coefficiens numericus cujusque termini indical, quol variis modis exponens ipsius m in tot 

 partes inaeqnales dispertiri possit, quot exponeufi ipsius z conlineat unitates. Est vero 



(1 -+- mz) (1 -+- m*je) (1 -f- m^z) (t -+- m*z) etc. —\-\- ^ 1- -j — 2--I- (- —-. " ,. .. r- -♦- etc. 



^ ' ^ ' ^ ^ ' 1 — m (1 — m) (1 — m*) \\ — m) (1 — m*) (1 — m») 



quod ita ostendo. Sit [\~\-mz){\ -^-m^^z) {\~\-m^z){\ -^-m^^z) etc. =\ -\-az-\- §z^ '^yz* -\-dz^ ~v- etc. Jam 

 loco z scribatur mz eritque {\ -\- m"^ z) {\ -\- m^ z) {\ -\- m* z) etc. z=. \ -\- amz -\- (im^ z^ -\- ym^ z^ -^ 8m* z* -\- etc. 

 quae ergo per \-\-mz multiplicata priorem seriem \ -\- az -\- ^z"^ -\- etc. reproducere debet, unde valores coef- 

 ficientium a, ^, y, d, etc. delerminantur. Cum igitur hoc pacto diversi exponentes ipsius z segregentur, pro- 



blema prius pro quovis partium numero solvetur. Scilicet si evolvatur in 1 m -♦- 1 m* -f- 1 m' -♦- 1 m* -i- 



1 — m 



etc. quilibet coefliciens 1 ostendil exponentem ipsius m unico modo ex una parte oriri, quod manifestum est. 

 Simul vero indicat quemlibet numerum unico modo ex unitatibus meris produci posse. Expressio 



«.3 



= lm'-i-lm*-*-2m^-*-2m^-l-3m"-*-3m^-f- etc. 



(1 — m) (1 — m^) 



hujus quilibet coefliciens ostendit, <juot variis modis exponens ipsius m in duas partes inaequales dispertiri pos- 



sit; simul vero indicat, quot variis modis idem numerus ternario multatus ex his binis nunoeris 1 et 2 formari 



possit. Atque factore ipsius z', qui est 



m' 

 (l-m)(l -m2)(l-m3)' 



evolulo in lm'-i-lm' -f-2m^-i-3m®-i- 4-m'^-*- etc. coefljciens cujuslibet termini ostendit, quot variis modis 

 exponens ipsius m dispertiri possit in tres partes inaequales, seu quot variis modis idem ipsius m exponens 

 senario multalus ex numeris 1, 2, 3, componi queat. Generatim ergo problema de numero iV in n partes in- 

 aequales parliendo resolvetur per explicationem formae 



n {n -4- 1) 



m * 



(1 — m)(l-m*)...(l-m") 



donec ad terminum vm^ perveniatur, cujus coefliciens i^ quaesitum partitionum numerum monslrabit. Hinc plura 

 sequuntur compendia hos partitionum numeros expedite inveniendi, et ex jam cognitis simplicioribus componendi. 

 Sic si haec scriptio {N)^"^ sumatur ad numerum partitionum indicandum, quem numerus iV in n partes inae- 

 quales admittit, erit (iV)^"^ = (iV— n)^'*^ -4- (iV— n)^" ~" ^\ unde quilibet numenis ex additione duorum jam 

 cognitorum oritur. Est autem (iV)^*^ = 1 , et si sit 



^^ n(n-i-l) ^ eril (iV)<«> = 0, sin autem A-= "^""^^\ erit (^ <">=!. 



Soluto hoc problemate priori solvitur et posterius, quo partitionum numerus in partes sive aequales sive 

 inaequales postulalur. Evolvatur expressio 



1 



(1 — mz) (1 — m*z) (1 — m'«) (1 — m*x) elc. 

 et prodibit 



