532 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Varia. 





■m z 



4 4 



m z 



m^-z 

 m^z'^ 

 m*z^ 

 m^z*^ 



,3, 



• m z • 



•2mV- 



2mV- 



2mV 



m z 



2m^z'' 



3mV 



•3mV 



etc. 



ubi coefficiens cujusque termini indicat, quot variis modis exponens ipsius m dispertiri possit in tot partes, quot 



exponens ipsius z continet unitates. Singulae autem series horizontales seorsim inveniuntur ex eo, quod 



1 ^ mz m^z^ m^z^ 



l—m ~*~ (1 — «t) (1 - m*) ~*~ (1 — ni) (1 — m*) (l — «i») 



= 1-*- 



etc 



(1 — mz) (1 — m*z) (1 — m^z) etc. 



quae aequalitas eodem quo ante modo ostenditur. Hinc si quaeralur, quot variis modis numerus N in n partes 

 distribui possit, evolvatur expressio 



(1— m)(l-m2) (1-m") 



donec perveniatur ad terminum v^m^, cujus coefficiens w quaesitum parlitionum numerum indicabit Cum igitur 

 haec expressio eosdem praebeat coefficientes numericos, quos praecedens, sequitur numerum N tot modis in n 



parles sive aequales sive inaequales distribui posse, quot modis numerus N-i ^-^ in n partes inaequales 



dislribui queat. Atque si per hanc scriplionem (iV)^"^ indicetur modorum numerus, quibus numerus iV in n 

 parles sive aequales sive inaequales dispertiri possit, erit {N)''"'^ = {N — n)^"^-i-(iV — i)^" ~ ^\ unde tabula, 

 qua hi partitionum numeri continentur, expedite quousque lubuerit continuari potest. Ulrumque ergo problema 

 reducitur ad inventionem harum serierum 



I II III IV 



VI VII VIII IX X 



1. 



2. 

 3. 

 4. 

 5. 

 6. 

 7. 

 8. 

 9. 



etc. 



Harum serierum plurimae leges progressionis dantur, uti attente eas inspicienti mox patebit. Continuavi autem 

 eas facili negotio eousque, ut afiirmare possim numerum 125 in 12 partes inter se inaequales distribui posse 

 64707 modis. Series autem 1-4-1-4-2-+-3-4-5-4-7h-11-4-15-h22-4-30-i-42-4- etc. et inter horizontales 

 est iuGnitesima et oritur terminis diagonaliter addendis. Observavi autem aliam proprietatem , cujus ope singulae 

 series horizontales sine superiorum ope formari possunt ex seriebus quarum terminus generalis est 



a;.(a5 -»- 1) (a; -4- 2) (« -»- 3) 



1:2x4 — - ''"• 



nempe ex serie 1-4-2-4-3-+-4-4-5-H 6-4-7-4- etc, 

 oritur 1-+-1-+-2-4-2-+-3-4-3-+-4-H etc. 



ubi bini termini inferioris seriei additi dant terminum superioris. £t €>x 



