Litterae ad N. BernouUium datae. 533 



ubi bini termini seriei I additi dant terminum «uperioris, et terni termini «eriei II additi dant terminum seriei I. 



Ex serie 



l-f-*-f-10-H20-f-35-f-56-f-8i-f- etc. 



oriuntur I. l-f-3-f- 7-f- 13-f-22-f- 3i-+-50-f- etc. 

 II. l-f-2-f- i-f- 7-f-ll-fr-16-f-23-f- etc. 

 III. 1-f-l-f- 2-f- 3-f- 5-f- 6-f- 9-f- etc. 

 ubi bini tcrmini seriei I additi dant terminum superioris, et terni termini seriei II addili dant terminum seriei I, 

 et quaterni termini seriei III dant terminum seriei II. 



Quod expressio (1 — n)(l — n^) (1 — n^) (I — n") elc. evoluta det seriem 1— n — n^ -f- n' -f- n' — etc, 



m qua alii exponentes non occurrunt nisi qui contineantur in ^^ > per legitimam inductionem mihi equi- 



dem conclusisse videor ; interim tamen demonstrationem nullo pacto invenire potui, etiamsi non parum temporis 

 in id impenderem. Inveni autem expressionem (1 — n) (1 — n^) [l — w^) (1 — n*) etc. quoque in hanc seriem 



transmutari posse^ 



M n n' n* 



l-n^(l -n)(l -n*) (1 - „) (1 _ n2)(l _ n') 



cujus adeo valor aequatur summae seriei 1 — n^ — n^^-nn^-i-n' — n'^ — n^^-H etc. Quare cum lex progres- 

 sionis hujus seriei sit cognita, hinc alterius seriei 1 -f- In -f-2n*-f-3n'-f-5n*-f- 7n^ -l- etc. indoles ita de- 

 scribi polerit, ut sit recurrens, habens scalam relalionis hanc 



1-f-l-f-O-f-O— l-f-O — l-f-0-f-0-HO-f-0-f-l-f-0-*-0-f-l-f-0-f-0-f- etc. 



cujus ope facile continuatur. Quae mihi scripsisti, Vir Amplissime, de investigatione potestatum seriei 



. a a^ a' 



1 -I 7 -f- X T- -+• -. -f- etc. 



n-H 1 2n-i-l 3n-i- 1 



satis declarant, quantopere methodus Tua a priori procedens praestet alteri illi a posteriori, qua usus sum. Ex 

 serie enim, quam pro cubo hujus seriei exhibuisti, difricillimum foret a posteriori ejus sumraam invenirc; eo 

 majores igitur Tibi habeo gratias, quo majorem fructum me ex ea methodo capturum spero. Caeterum occa- 

 sione illius seriei 1 — n — n*-f-n^-f-n' — n'^ — n^^-f- etc mihi in mentem venit, quot veritates in mathesi 

 soli inductioni acceptas referamus, praecipue circa proprietates numerorum. Cujusmodi sunt : omnem numerum 

 esse summam quatuor pauciorumve quadratorum; item, omnem numerum primum formae 4nH-l esse sum- 

 mam duorum quadratorum; item, summam duorum cuborum non posse esse cubum. Simile theorema quoque 

 nuper occasionem praebente Cel. Goldbachio detexi : hanc expressionem h-nab — a — b quadratum esseopsse 

 nunquam, siquidem litterae a,b, et n numeros integros afTirmativos designent. 



Quae in superioribus litteris de investigatione factorum scripsi, non solum insignem habent usum in inte- 

 gratione formularum difierentialium rationalium, sed etiam integrari possunt inilnitae aequationes diflerentiales 

 cujuscunque gradus, quae quidem continentur in hac forma 



= ^v-f-^-f-^-f-^-+-— ^-f- etc 



^ dx dx^ dx^ dx* 



posito dx constante. Ad valorem enim ipsius y in quantitatibus finitis expressum inveniendum resolvatur haec 

 aequatio algebraica = A-i-Bz-i~Cz^-i-Dz^-i-Ez*-h- etc. in factores, et quilibet factor dabit partem valoris 

 ipsius y quaesiti, hoc modo 



