534 



L. EULERI OPERA POSTHLMA. 



Varia. 



.1 hvvi^ Kmniff' 



si factor fuerit 



etc. 



ff — 2fz cos <p~*-zz 

 (/f — - 2/z cosy -f- zz) 



erit integralis pars 

 ae ■*" , ubi e est numerus , cujus logarithmus = 1 



{a-^^x)e^^'' 



{a-i- ^x -i~ yxx) e'^'^ 

 etc. 



fx COSO) • j j. ' 



aer ^ smA . fx sm (p 



Ule cos^ . fx sm(p 



(a -♦- /?a7) e' 



/iJCOS^) 



sini4 . /"af siny -+- (^ -f- ^ar) e' 



p; cos f 



cos ^ . fx sin < 



hujusmodi enim valores ex singulis factoribus orti conjiciantur in unam summam , sicque prodibit valor ipsius y 

 quaesitus, qui tot quantilates arbitrarias constantes complectetur , quoli gradus fuerit aequatio differentiaiis, uti 

 integrationis natura postulat. Hinc expedite integrari potest aequatio differentialis quarti gradus ydx* =. a^^d^y, 

 qua exprimitur natura curvae, quam lamina elastica inter oscillandum (si fuerit muro infixa et ad motum vi- 



bratorium incitetur) induit. Cum enim sit 



a*d*y 



= y- 



dx* 



oritur haec aequatio resolvenda = 1 — a*z*, cujus factores sunt 1 — az, 1 -+- a^, 1 -f-a*^^, ex quibus obtinetur 



y = ae 



(ie 



y sin^ . H 5 cos^ . — 



a a 



ob cos 9 = et sin 9 = 1 , unde sequitur tempora singularum vibrationum essQ in ratione duplicata longitudinis 

 laminarum, caeteris paribus. 



His, cum spatium supersit, adjungam methodum facilem resolvendi omnis generis problemaia, quae ad 

 problema Isoperimetricum referri solent. Quaeratur scilicet inter oranes curvas ea, in qua expressio quaepiam 

 integralis yM/iV sit maxima vel minima, ubi M et iV non solum ipsas coordinatas x, y, sed etiam earum diffe- 

 rentialia quaecunque involvant. Ponatur dy = pdx, dp = qdx, dq = rdx, etc. atque formula integralis proposita 

 abibit in ejusmodi expressionem fZdx, in qua Z erit functio ipsarum x, y %\. p, q, r, etc. Differentietur Z, 

 atque sit dZ = Mdx ^ Ndy ~i- Pdp ~i- Qdq ~i~ Rdr -h- etc. et sumto dx constante formetur hic valor 



dx dx* 



d^R 



dx^ 



etc. 



quem voco valorem differentialem formulae propositae integralis jZdx. Atque hic valor differentialis F nihilo 

 aequalis positus praebebit aequationem pro curva quaesita, in qua fZdx erit maximum minimumve. Sic cum 



/ds 

 — minimum tsset oportere, ubi d$ elemen- 



tum curvae et r radium osculi significabat, statim per hanc melhodum problema resolvi. Sumtis enim x ei y 

 pro coordinalis curvae quaesitae, positoque dy=:pdx et dp = qdx, erit 



9? 



hincque differentiando 



ds = dxy{i-i-pp) et r = ^*"*"^^^ > unde fit Z= ^ 



{i-*-PP)^ 



M=0, JV=0, P = 





(1 



.pp)2 



et Q 



2g 



(1 



■pp)2 



ita ut sit dZ = Pdp -\- Qdq, Erit ergo valor differentialis 



dP 





dx 



d<lQ 

 dx^ 



