Litlerae ad N. Bernoullium dalae, 535 



et pro curva quacsita aequalio = dPdx — ddQ^ quae integrala Hai Pda;-^ dQ= Adx. MuUiplicetur per ^, ob 

 dp=qdx, erit Pdp — qdQ=zAdp; at ex aequalioiie dZ-=Pdp-\~Qdq est Pdp = dZ'— Qdq, quo valore substi- 

 tuto habebitur dZ — Qdq — qdQ = Adp, quae denuo integrata dat 



Z-Qq=Ap-\-B= -= -^. 



(1-+-M»P (iH-W)^ (l-»-«>)=^ 

 Erit ergo mutato conslantium signo 



q = [Ap-^By{i-^ppf^ = '^. 

 ergo 



<te = r et dy — 



(Ap-*-B)^ {l-i-pp)^ {Ap-*-B)^{l-t-pp)^ 



unde cognita jam aequatio pro curva elastica elicitur. 



Si non absolute inter omnes curvas, sed tantum inter isoperimetras, vel eas, in quas certa quaedam ex- 

 pressio integralis yZt/a; aequaliter competit, quaeratur ea, in qua sM JZdx maximum minimumve, tum eadem 

 methodo quaerantur valores differentiales formularum y^Zcfo; et fZdx, qui sint F' et F, erit aF'-f-^F = ae- 

 quatio pro curva quaesita. Sic non impeditur haec mea methodus, etiamsi in formula integrali fZdx praeter 

 differenlialia coordinalarum x et y, quoque earum differentlalia secundi, tertii, aliusve allioris ordinis insint, 

 cujusmodi casus dubito an per solitas methodos resolvi possint. At vero si in Z praeter quantitates x, y, p, q, r, 

 etc. etiam formula quaepiam integralis, ^ula f^dx, insit, tum neque consueta methodus, neque haec, quam 

 modo exposui, solutioni inservit, sed sequcnti modo erit procedendum. Cum Z sil functio quantitatum x, y, p, Qt r, 

 elc. et insuper quantitatis Il=y^dx, sit dZ = Ldll -t- Mdx -t-' Ndy -i~ Pdp -^ Qdq -i- etc. atque 



• d:^ = Tidx-i-^dy-t-^dp~t-0,dq-i- etc. 



Tnm BMvaaiUxr f Ldx , cujus valor posito x = a fiat H, silque H—J Ldx=^T, erit differentialis valor quaesitus 



= iV-SBr- ''"'r^^ -t-' "'"?-:^''' - ete. 



De problematis autem huc pertinentibus notandum est, ea non instar priorum absolute resolvi posse, ut 

 curvae porlio quaecunque praescripla maximi minimive indole sit praedita; sed longiludo abscissae simul debet 

 assignari, cui haec conditio satisfaciat. Sic si iste modo inventus valor differentialis ponatur =0, aequatio pro- 

 dibit non pro curva, quae inter omnes alias absolute habeat fZdx maxiraum minimumve, sed quae inter alias 

 omnes pro dato abscissae valore x=^a (cujus ralio jam est habita in T) maximum minimumve ipsius jZdx va- 

 lorem exhibeat. Quare si haec abscissae magnitudo a immuletur, alia curva problemati satisfaciens reperilur; 

 qua cautela in problematis prioris generis non erat opus. Ullerius processi, et casus evolvi, cum etiam 3 denuo 

 formulam integralem 7t=.J'^dx implicet. Prbposita enim formula yZt/a; , si sit 



dZ = LdH -+- Mdx -I- Ndy -f- Pdp -^Qdq-\~ etc. 



existente Il^J^dx, et d'^ = ^d7r-h--Sidx -t-fSldy-t-^X^dp -t-Sldq-t- etc. existente 



Tt =J^dx et d^ = mdx -f- ndy -i- prfp -*- qrfj -t- etc. 



Sumatur integrale fLdx, quod sit =H casu quo x=:a (ubi a est magnitudo abscissae x illa determinata, cui 

 maximus valor illiusyZrfir respoudere debet) sitque H — jLdx=T. Tum sumatur integrale f^Tdx, quod fiat 

 =:<^ posito x = a, sitque «^ — JiTdx = %. His praeparatis erit valor differentialis formae yZrfx hic 



dx da^ 



