536 L. EULERI OPERA POSTHLMA. Varia. 



Ex his aatem quousque libuerit ullra progredi, atque abstrusissinia problemata resolvere licebit. Qua de me- 

 thodo quid sentias, Vir Amplissime, etiam atque etiam rogo ut mihi indicare velis. Vale, Vir Celebeirime, 

 mihique favera perge. Dabam Berolini d. \0 Novembr. 1742. 

 (Responsionem vide Corresp. T. II. p. 701.) 



Viro Celeberrimo alque Amplissimo N. B. S. P. D. L. E. 



Quoniam ex litteris Tuis maximum semper fructum percipio, eo majores Tibi me debere gratias agnosco, 

 quo minus Tibi suppetit otium ad litleras meas respondendi. Quamobrem Te, Vir Amplissime, etiam atque 

 etiam rogo, ut frequentiores meas interpellaliones benevole excusare velis. 



Quod primum de seriebus divergentibus scribis, earum summas dari omnino non posse, quoniam licet in 

 infinitum continuentur, tamen exhauriri nequeant, non mediocriter jam pridem dubitavi, atque etiamnum am- 

 bigo. Interim tamen hoc dubium mihi quidem eximi posse videlur, si ad distinctionem inter numerum infinitum 

 determinatum, atque infinitum absolutum altendatur. Quamvis enim statui non possit 



1 





-:»-•?•-'*•- — - — = 1 -f- ic -t- a?' -H a?^ -H . . . . -I- a:°°. 



quia hic numerus terminorum etsi infinilus, lamen tamquam definilus spectatur, atque adeo series revera ter- 

 minari censetur; tamen sine errore mihi quidem statui posse videtur 



= i ~t- X -+- x''^ ^ sc^ -+- etc. 



i -X 



in infinitum, hoc est seriei nusquam ullo termino constituto. Sic falsum foret 



= 1 — 34-5 — 7-h9— ....=t(2oo-t-l), 



at omni finilionis idea etiara cogitatione sublata , sine errore airirmari potest esse 0=1 — 3-f-5 — 7-t-9 — 

 in infinitum. In hac autem opinione eo magis confirmor, quod nullus mihi adhuc obtigerit casus, in quo ejus- 

 modi serierum suramatio me in errorem deduxisset. 



Quod nunc assertum meum circa radicum imaginariarum proprietatem non solum probas, sed eliam de- 

 monstrationem mecum communicare voluisti, maximas Tibi ago gratias. Concedo enim lubentissime, quod postu- 

 las, omnem radicem imaginariara aequationis quotcunque dimensionum, etiamsi forma ejus penitus sit incognita, 

 tamen considerari posse tanquam functionem hujusmodi expressionum a zt V — b. Interim tamen si quis de hac 

 veritate dubitaret, fateor me nondum videre, quomodo hoc Tuum'assumtum demonstrarem. Me quidem in hoc 

 asserto non parum confirmavit singularis modus resolutionem aequationum altiorum graduum absolvendi, similis 

 fere Cartesiano. Sit proposita aequatio x'^ ~i- px^ ~t- qccx -^ rx -t- s = , quani resolvi pono in has 



XX -i- ax -i- (3 = et xx -i- yx -^ d = 0. 



Sint autem a et y radices hujus aequationis zz-t-pz-i-u = 0, et /? cum d radices hujus zz-^iz~^s = 0, est 

 enim a~i-y=p et (36 = s. Per has aequationes erit ay = u, I3~i-6 = t. Comparata vero aequatione proposita 

 cum factoribus assumtis erit: p = a-i-y, q=. ^ -\-8 ~^ay, r=:ad~i-(3y et s = (3d, seu q = t-t-u; deinde ob 

 r = a8-t-(3y erit eliminando rr — prt ~i- ppt -t- tlu — 4sw=0. Sunt autem incognitae t et u, quarum altera u 

 sublata dat t^ — qtt — {pp — pr~\-i-8)t — rr -i-4s</ = 0. Definitur ergo incognita / vel u per aequationera cu- 

 bicam, ideoque semper unus dalur valor realis pro f et pro u Praevidere autem licebat has incognitas t et « 



