. Litjerae ad N. BernouUium datae. ', 537 



per aequafionem cubicam denniri debere, quia aequatio biquadrala tres tantum diversas resolutiones admittil. 

 Sint enim a, b, c, d radices qualuor, erunt Ires ipsius t valores hi: ah-\-cd, ac-t-bd, ad -t-bc. Simili modo si 

 proponatur aequatio sexti gradus cc* -t- px^ -+- qx* -t- rx^ -\- elc. =0 ejusque factores ponantur 



xx-+-ax-^^, XX -¥-yx-\~8, xx-^-sx-^-^, 

 atque ut ante a, y, £ ponantur rad^ces aequationis z^ -\- Azz-^ Bz-^C:=Q, et patebit ex varia sex radicum 

 combinatione quantitalcm C quindecim diversos valores induere ^^osse, iinde resolulio pcndet ab aequatione 15'* 



gradus. Generaliter vero resolulio aequationis 2n dimensionum pendebit ab aequatione 1.3.5 (2n — !;•"' 



gradus, qui gradus cum sit impar, una semper dabitur resolutio realis. Neque vero hoc ratiocinium adhuc ve> 

 ifitatem evincit; interim tamen viam ad demonstralionem apodicticam fortasse parare potest. , ineufnMiiO 



Plurimiun autem Tibi, Vir Celeberrime, me obstrictum agnosco pro demonstratione elegantissimae Tuae con- 

 structionis trajectoriarum orlhogonalium, quam in Actis Lips. 1719 publicaveras. Equidem jam pridem in ilUus 

 demonstratione eruenda desudaveram, neque tamen alium casum elicui, praeter eum, quo 



;, ^ r fit functio ipsius parametri a tantura. 



Quanquam enim q^uaesivi quantitatem n, per quam aequalio 



^^ dy(l-i-pp) _^ ^^ 



divisa integrabilis reddatur, tamen in mentem mihi non venit, in investigatione ipsius n ipsam aeqiiationem pro- 

 positam in subsidium vocari posse. Hac igitur methodo Tua plurimae aequationes differentiales expedite inte- 

 grari possunt. Sit enim proposita aequatio = Pdx -*- Qdy, in qua sint P ei Q functiones quaecunque ipsarum 

 X et y, ita ut sit dP = Kdx-+-Ldy et dQ = Mdx -\- Ndy. Quaeralur functio R, quae illam aequalionem multi- 

 plicans reddat integrabilem, ita ut = PRdx-i- QRdy integrationem admittal. Debebit ergo diff. PRdx, posito x 

 constante, aequari diff. QRdy, posito y constanti. Sit dR=Tdx -k-Ydy, erit 



PVdxdy -f- LRdxdy = QTdxdy -+- MRdxdy = — PTdx"^ -t- MRdxdy , ob Qdy = — Pdx. 

 Ergo erit Pdx [Tdx -+- Vdy) = Rdxdy [M— L) = PdxdR, ideoque 



• 



Quoties ergo ex his formulis functio R definiri potest, aequatio proposita integrari poterit. Sit porposita aequatio 

 dy-k-yXdx-i-v^Vdx = (i, in qua X et F sinl functiones quaecunque ipsius X, erit Q=\^ /> = «/X-*-y"V, 

 ideoque oys Bii!* 



Quare erit 



M=0, iV=0, K = ^-^-i-^, L = X-\-nVf 

 ax dx 



dR __ Mdy . Ux __ ^j^ , ^v.ji-\ j ^r^x—'^ 



y 

 ,(i -n)/xax 



^=^^t:^ = Xdx-t-nV/'-^dx = Xdx-''^ — nXdx et IR = [\ —n^/Xdx -nly 



et jR=- 



Integrabilis ergo erit aequatio 



integrale enim est 



(1 - n)fXdx , (1 — n)/Xdx ^, ^,. , ,_ 



^: -^-Jy^t: i ^^^^^'"'^'^'^''vdx^o 



ii-n)fXdx ,,_,)^^^^_ 



L. Ealeri Op. poatbama. T. I. 68 



