Mg L. EULERI OPERA POSTHUMA. varia. 



Q«ae integtalio etsi jam «atis est cognita, tamett summam regtilae Tuae utililatem luculenter declarat. Vale, 

 Vit AmpHssilne, toiliique favere perge. Babam Berolini d. 14 Maii 1743. 



(Responsionem vide Cqrresp. T. II. p. t08.) 

 tttinihen x4?t nmvf j:s 



" Viro Consultissimo et Excellentissimo N. B. S. *P. t). L. E. 



Quanquam desiderium meum a Te, Vir Excellenlissime, proGciendi summum est, tamen tanta erga Te e»l 

 veneratio mea, ut nisi otium Tibi suppetat, nullas a Te lilteras exigam, quoties autem lubuerit mihi respondere, 

 pro boc insigni munere Tibi gratias maximas habeam. Exquisitissima sunt monita Tua, quae circa summas se- 

 rierum divergentium affers, Tibique nunc prorsus assentior, eo modo, quo serierum convergentium summa sil 

 quantitas quasi asymtota, ad quam, quo plures seriei termini actu colligantur, eo propius accedatur, ita ul 

 tandem discrepantia omni assignabili quantitate minor evadat. Scilicet si habeatur series convergens quaecunque 

 a -^- b -+- c -i- d -+- etc, concipi potest Fig. 69. linea curva abcde etc. super axe AS ita descripta, ut ejus appli-> 

 catae ad aequalia intervalla axis constitulae sint 



Aa = a 

 -<nq /nonoiifij/; . Bb=:a-^h 



Cc :=ta^b-+-c 



etc. 

 quo facto manifestum est hanc curvam habituram esse asymtotam TV axi AS parallelam, cujus ab axe distantia 

 veram seriei in infinitum continuatae summam repraesentabit. Sin autem series proposita fuerit divergens, quo- 

 niam hoc casa iHiUa datur asymtota axi parallela, nequidem hujusmodi serierum summas concipere licet, atque 

 adeo ipsi ideae summae contradiceret, qui quantitatem finitam tanquam summam assignare vellet> Cum ^vitem 

 omnis expressio sive fracta, sive irrationalis , sive etiam transcendens in seriem infinitam evolvi queat, etiam 

 vicissim concedendum est, proposita quacunque serie sive convergente sive divergente, dari expressionem quam- 

 piam finitam , ex cujus evolulione illa ipsa series oriatur. Quare si a naturali vucis mmmae significatione ita 

 recedere velimus, ut cujusvis seriei summam appellemus non aggregalum omnium terminorum, «ed valorem 

 illius quanlilatis finitae, ex cujus evolutione illa series resullet, non solum consuetura summandi modum« qui 

 alias contradictionem involveret, tueri, sed etiam, quemadmodum summatio serierum divergentium in errorem 

 non inducat, explicare poterimus. Quoniam igitur definitiones vocabulorum sunt arbitrariae (saltem nisi sibi 

 ipsae pugnent), si hac definitione ular, ut dicam seriei cujusque summam esse valorem ejus expressionis finitae, 

 ex cujus evolutione illa ipsa series oriatur, omnis dubitatio atque repugnantia funditus tolletur. Hocque adeo 



sensu sine ulla contradictione afTirmare licebit esse 1 — 4-f-9 — 16-f-25 — 36-+- etc. =0, quia baec series 



1-1 ^ 



oritur ex evolutione expressionis 3=0; similique modo erit l-t-2-i-4-»-8-t-l6-i- etc. = — 1. Ce- 



terum vero notandum est, quolies series fuerit convergens, tum novam istam summae notionem cum consueta 

 congruere, ex quo nulla confusio ex introductione hujus novae ideae erit metuenda. Hoc posito, quaestio non 

 erit absurda, si quaeram summam hujus seriei maxime divergentis 1 — 2 -♦-6 — 24-4-120 — 720-*- etc; de- 

 sidero enim valorem quantitatis finitae, ex cujus evolutione ista series oriatur, et cum ista quantitas sit transcen-> 

 dens, sufficiet ejus valorem tantum proxime assignasse. Inveni autem hunc valorem seu summam fore = 0,40478, 

 sicque minorem quam semissem unitatis. Contra hunc concipiendi mpdum nihil aliud mihi quidem objici posse 



