Ltllerae ad iV. BernouUium datae. 1 539 



videtiir, nifii quod ante demonstrari debeat, eandem sericm ex pluribus divcrsis expressionibus finctic oriri non 

 posse, at vero hoc mihi extra dubium positum videtur. 



Si concedatur, radices imaginarias aeqiialionum considerari posse tanquam functiones binomiorum hujus- 

 modi a-i-V — by tuin utique necesjiario sequilur, aequationes imparium dimensionum fiemper unam ad mini- 

 mum habere radicem realem, ac proinde numerum radicum imaginariarum perpetuo ei>se parera. Verumtameo 

 nondum perspicui quomodo, &\ posterius concedatur, vicissim et prius consequatur: poslerius enim mihi der 

 monstrari posse videtur, nullo habito respectu ad formas radicum imaginariarum. Sit enim proposita aequatio im- 

 parium dimensionum quaecunque a;'""*"^ H-aar^^^-H/^x^""' -»- etc. :=0, ponoque 



^2«-Hi_^„^2n_^^^2/i-i_^ etc. =z, 



atque manifestum est, si slatuatur a; = oo fore ^ = oo, sin autem ponatur x=. — oo, fore z = — oo. TrJ- 

 buendo igitur ipsi x successive omnes possibiles valores inter limites H-po et — oo contentos, Kttera z induet 

 pariler omnes possibiles valores inter limites -i- oo et — oo conlentos. Dabitur ergo valor loco x substituendus, 

 qui lilterae z valorem inducat =0, isque proplerea erit radix ipsius x pro aequalione proposita. Cum igitur 

 hoc summo rigore demonstrari possit, optarem, ut simili modo forma functionalis radicum imaginariarum, quam 

 slaluis, demonstrari vel ex hoc ipso fonte derivari posset. 



Pro emendatione errorum, quos per festinationem in resolutione aequationis x* -^ fx^ -\- tix^ -\- rx -i- s = (i 

 commiseram, gratias ago. Ceterum, uti probe mones, realitas faclorum trinomialium multo commodlus methodo 

 Cartesii, tollendo secundum terminum, docetur, atque adeo meo judicio hanc demonstrationem perfectissime ab- 

 £oIvisti. Quanquam enim aequationes altiorum dlmensionum, ad quas pervenitur, actu resolvi nequeant, tamen 

 ad institutum sufTiciebat ostendisse, illas aequationes semper babituras e&&e unam ejusmodi radicem realem, ex 

 qua prodeant factores trinomiales reales, etiamsi hi rarissime assignari queant. Aequatio enim 



-r'"-2"_4-pa;'"-''"-i-4-ga;'"- "-*-»- etc. =0 

 uti egregie mones, pro divisore habebil aequationem 



«* -I- owe* — ^ -I- /5«' "" ' -t- etc. =0, 

 ad quem inveniendum coefficiens a determinabilur per aequationem tot djmensionum, quot hoc productum con- 



tinet unitates 



^''.m 2".»n— 1 2".»?» — 2 2"(m — 1)-h1 



2« 2« _ 1 2" - 2 1 



Primum autem patet hoc productum semper exhibere numerum integrum; tum vero quaelibet fractio, siquidem 

 m est numerus Impar, reducitur ad ejusmodi formam, ut tam numerator quam denominator fiat numerus impar> 

 ex quo tota expressio evadet numerus impar, atque adeo valor a, cum definiatur per aequationem imparium 

 dimensionum, poterit esse realis: reliqua vero, quae binc deducis, Vir Celeberrime, negotiuna, qupd agitabam, 

 prorsus conficiunt. Tota enim res perducitur ad resolutionem aequationis 



x'^ r*-qx^ ~^-%-rx^ — '-H etc. =0 

 in qua secundum terminum jam deesse pono. Quodsi ergo hujus bini factores ponantur 



n — 1 n — 1 n — 1 ->"""* i /v 



X* -H ctx^ — * -+- etc. et x^ — ax * -♦- etc. = U 



quia est a aggregatum 2""' radicum prioris «equationis, defioietur a per aequationen» tot dimensionum. qnot 



£unt unitates in hoc numero 



2"-l 2°- 2 , 



• 2"—*^ * 2"—* - 2 ' 



